数字电子技术基础,教材：数字电子技术 主编：黄瑞祥 “浙江省高等教育重点建设教材” “应用型本科规划教材” 总章数：共九章,第一章 逻辑代数基础,1.1 概述 1.2 逻辑代数的运算规则 1.3 逻辑函数及其表示方法 1.4 逻辑函数的公式化简法 1.5 逻辑函数的卡诺图化简法 1.6 具有约束的逻辑函数及其化简,学时分配：共8学时 教学目标：通过本章的学习 掌握二进制、十进制及其相互转换方法；掌握8421 BCD码、2421 BCD码、余3码和余3循环码的编码方法；掌握格雷码的编码规律、格雷码与二进制相互转换方法。 掌握逻辑代数的基本运算、基本定律和基本规则；掌握逻辑函数的标准形式；掌握逻辑函数的公式法化简方法和卡诺图化简方法；掌握逻辑函数的各种表示方法及其相互之间的转换。,1.1 概 述,一、概念,模拟量,时间上、数量变化上都是连续的物理量；,表示模拟量的信号叫做模拟信号；,工作在模拟信号下的电子电路称为模拟电路。,数字量,时间上、数量变化上都是离散的物理量；,表示数字量的信号叫做数字信号；,工作在数字信号下的电子电路称为数字电路。,数字信号和模拟信号： 模拟信号是在时间和幅值上都连续变化的信号，例如温度、压力、磁场、电场等物理量通过传感器变成的电信号，如下图(a)所示。对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为模拟电路。 数字信号是在时间和幅值上都不连续，并取一定离散数值的信号，通常是由数字0和1，也可以说是由低电平电信号和高电平电信号组成的信号，如下图(b)所示。对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路，如数字电子钟、数字万用表的电子电路都是由数字电路组成的。,(a)模拟信号波形 （b）数字信号波形,二、数制与编码,（一）常用数制 数制：我们最熟悉十进制，十个码元09，逢十进一。 常用的数制有十进制，二进制，十六进制，八进制等。 任意的R进制有R个码元，逢R进一。,例1.1 （11001）2( ? )10 解：（11001）21241230220211 20 16 8001 (25 )10 例1.2 （0.0101）202-1+12-2+02-3+12-4 00.2500.0625 (0.3125) 10 十六进制数： 以16为基数所表示的数叫做十六进制数。十六进制中，09的数字与十进制中使用的字符相同，不同的是，十进制中的1015在十六进制中一般用A、B、C、D、E、F表示。 例1.3 将十六进制数（12AF .B4）16转换成十进制数。 （12AF.B4）16=1163+2162+10161+15160+1116-1+416-2 =（4783 .703125）10,不同进制的基本特点在于： 组成：（0 1）2 3 4 5 6 7）8 9）A B C D E F） 进位基数：N，是几进制就是几； 加减运算规则：逢N进一，借一当N； 例如： 二进制数 11101+01010 = ？,1 1 1 0 1 + 0 1 0 1 0 - 1 0 0 1 1 1,（二） 数制转换,1） 二 十,2 ） 十 二,故:,其它进制数转换为十进制数，,用“表达式展开法”。,例： 将（11）10 化为二进制数，用 除 2 取 余 法。,用“除N取余法”。,例：,（1011）2,+,022,+,121,+,120,=123,11,2,5,余1 K0,2,2,余1 K1,2,1,余0 K2,K3,十进制转换成二进制，,= 8 + 0 + 2 + 1 =（11）10,将代码为1 的数权值相加，即得对应的十进制数。,非十进制转为十进制的方法是：把各个非十进制数按权展开求和。 十进制数转换为非十进制的方法是：整数部分采用“除N取余法”，且除到商为0为止。小数部分转换采用“乘N取整法”，乘不尽时，到满足精度为止。（其中N为要转换过去的进制基数） 要注意的是：书写结果时，整数的余数是反序写下来，小数的整数是正序写下来。,三、码制,不同的数码不仅可以表示数量的大小，还可以表示不同的事物。用来表示不同事物的数码称为代码。,编制代码遵循的规则叫做“码制”。,我们习惯使用十进制，计算机硬件基于二进制，两者的结合点就是 BCD (Binary Coded Decimal ) 码 ，即用二进制编码表示十进制的十个码元0 9。至少要用四位二进制数才能表示0 9，因为三位二进制最多只有8种组合。四位二进制有16种组合，足够了。 现在的问题是要在16种组合中挑出10个，分别表示09，怎么挑呢？不同的挑法构成了不同的BCD码，如：8421码、2421码等，其中的数字表示位权，还有余3码、格雷码等。,十进制,编码种类,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,权,8421码,0 0 0 0,0 0 0 1,0 0 1 0,0 0 1 1,0 1 0 0,0 1 0 1,0 1 1 0,0 1 1 1,1 0 0 0,1 0 0 1,8 4 2 1,余3码,0 0 1 1,0 1 0 0,0 1 0 1,0 1 1 0,0 1 1 1,1 0 0 0,1 0 0 1,1 0 1 0,1 0 1 1,1 1 0 0,2421码（A）,0 0 0 0,0 0 0 1,0 0 1 0,0 0 1 1,0 1 0 0,0 1 0 1,0 1 1 0,0 1 1 1,1 1 1 0,1 1 1 1,2 4 2 1,2421码（B）,0 0 0 0,0 0 0 1,0 0 1 0,0 0 1 1,0 1 0 0,1 0 1 1,1 1 0 0,1 1 0 1,1 1 1 0,1 1 1 1,5211码,0 0 0 0,0 0 0 1,0 1 0 0,0 1 0 1,0 1 1 1,1 0 0 0,1 0 0 1,1 1 0 0,1 1 0 1,1 1 1 1,余 3 循环码,0 0 1 0,0 1 1 0,0 1 1 1,0 1 0 1,0 1 0 0,1 1 0 0,1 1 0 1,1 1 1 1,1 1 1 0,1 0 1 0,格雷码,0000,0001,0011,0010,0110,0111,0101,0100,1100,1101,2 4 2 1,5 2 1 1,对于恒权码，将代码为1的数权值相加即可得代码所代表的十进制数。,余3码的编码规律：在依 次罗列的四位二进制的十六种态中去掉前三种和后三 种。所以叫“余3码”。,余3循环码的主要特点：相邻两个代码之间仅有一位的状态不同。因此将余3循环码计数器的输出状态译码时，不会产生竞争-冒险现象。,余3码、余3循环码和格雷码是无权码,8421码和2421BCD码是恒权码,例如,（1001）8421BCD=,（1111）2421BCD=,（0111，1001）8421BCD=,（1011，1111）2421BCD=,8+1=（9）10,2+4+2+1=（9）10,（79）10,（59）10,基本概念,逻辑关系：在数字电路中，输入信号是“条件”，输出信号是“结果”，因此输入、输出之间存在一定的因果关系，称其为逻辑关系。 逻辑变量：参与逻辑运算的变量叫逻辑变量，用字母A，B表示。每个变量的取值非0 即1。 0、1不表示数的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。例如开关的闭合与打开；电灯的亮与灭等。,1.2 逻辑代数的运算规则,逻辑函数：设某一电路的输入逻辑变量为A1，A2，。An，输出逻辑变量为F。如果当A1，A2，An的值确定后，F的值也唯一的被确定下来，则F称为是A1，A2，An的逻辑函数，记为 F=f（ A1，A2，An） 逻辑电路的功能可由相应的逻辑函数完全描述。 与普通的函数相比，逻辑函数有如下特点： 逻辑变量与逻辑函数的取值只有0和1； 逻辑函数与逻辑变量的关系由“与”“或”“非”运算决定。,逻辑表达式：由逻辑变量，常量（0，1）及逻辑运算符（与，或，非等）构成的合法表达式。 逻辑表达式书写规则： 进行“非”运算可以不加括号； “与”运算符一般可以省略； 可根据先“与”后“或”的顺序“去”括号。 如（AB）+（CD）=AB+CD 真值表：一种由逻辑变量的所有可能取值组合及其对应的逻辑函数值所构成的表格。,在正逻辑中：,1 表示条件具备、开关接通、高电平等。,0 表示条件不具备、开关断开、低电平等。,逻辑代数开关代数布尔代数。,用来解决数字逻辑电路的分析与设计问题。,参与逻辑运算的变量叫逻辑变量，用字母A，B表示。每个变量的取值非0 即1。 0、1不表示数的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。,在数字电路中，输入信号是“条件”，输出信号是“结果”，因此输入、输出之间存在一定的因果关系，称其为逻辑关系。 描述逻辑关系的数学方法布尔代数。,2、与逻辑真值表,3、与逻辑函数式,4、与逻辑符号,5、与逻辑运算,A B,Y,0 0,0 1,1 0,1 1,0,0,0,1,1.2.1 逻辑代数的三种基本运算,（一）与运算,1、与逻辑定义,当决定某一事件的所有条件都具备时，事件才能发生。这种决定事件的因果关系称为“与逻辑关系”。,设：开关闭合=“1” 开关不闭合=“0” 灯亮，L=1 灯不亮，L=0,有用的例子,与逻辑只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。,与运算：,与逻辑表达式：,（二）或运算,当决定某一事件的一个或多个条件满足时,事件便能发生。这种决定事件的因果关系称为“或逻辑关系”。,A B,0 1,1 0,1 1,Y,0,1,1,1,2、或逻辑真值表,3 、 或逻辑函数式,4 、 或逻辑符号,Y=A+B,0+0=0； 0+1=1； 1+0=1； 1+1=1,5、或逻辑运算：,1、或逻辑定义,0 0,或运算：,或逻辑表达式： LA+B,或逻辑当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。,（三）非运算,条件具备时，事件不会发生；条件不具备时事件一定发生。这种决定事件的因果关系称为“非逻辑关系”。,5 、 非逻辑运算,4、 非逻辑符号,3 、非逻辑函数式,2、非逻辑真值表,A,Y,0,1,1,0,1 、非逻辑定义,非运算：,非逻辑表达式：,非逻辑某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。,（四）几种最常见的复合逻辑运算,1 、 与非,2 、 或非,3 、 同或,4 、 异或,1.2.2 基本公式和常用公式,一、基本定律： 这些定律可以直接利用其真值表加以证明，如果等式两边真值表相同，则等式成立。,10,1,0A=0,11,1+A=1,2,1A=A,12,0+A=A,3,AA=A,13,A+A=A,4,14,5,AB=BA,15,A+B=B+A,6,A(BC)=(AB)C,16,A+(B+C)=(A+B)+C,7,A(B+C)=AB+AC,17,A+BC=(A+B)(A+C),8,18,9,19,试证明： A+AB=A,1) 列真值表证明,2) 利用基本公式证明,A+BC,AB+C,二、 推广举例,A B,0 0,0 1,1 0,1 1,A+AB,0+00=0,0+01=0,1+10=1,1+11=1,A,0,0,1,1,A+AB=A(1+B)=A1=A,常用公式的证明与推广,一、证明举例,1 .代入规则 在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边的某个变量都用同一个函数代替，那么等式依然成立。这个规则（定理）为代入定理。 例如，已知等式 若用Y=BC代替式中的B，即,1.2.3 基本规则,利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数。 值得注意的是：运用定理必须注意运算符号的先后顺