全等三角形中做辅助线的技巧 口诀 三角形 图中有角平分线可向两边作垂线。也可将图对折看对称以后关系现。 角平分线平行线等腰三角形来添。角平分线加垂线三线合一试试看。 线段垂直平分线常向两端把线连。线段和差及倍半延长缩短可试验。 线段和差不等式移到同一三角去。三角形中两中点连接则成中位线。 三角形中有中线延长中线等中线。 一、由角平分线想到的辅助线 口诀 图中有角平分线可向两边作垂线。也可将图对折看对称以后关系现。 角平分线平行线等腰三角形来添。角平分线加垂线三线合一试试看。 角平分线具有两条性质a、对称性b、角平分线上的点到角两边的距离相 等。对于有角平分线的辅助线的作法一般有两种。 从角平分线上一点向两边作垂线 利用角平分线构造对称图形如作法是在一侧的长边上截取短边。 通常情况下出现了直角或是垂直等条件时一般考虑作垂线其它情况下 考虑构造对称图形。至于选取哪种方法要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 一 、截取构全等 如图 1-1AOC=BOC如取 OE=OF并连 接 DE、DF则有OEDOFD从而为我们证 明线段、角相等创造了条件。 例1 如图 1-2AB/CDBE 平分BCD CE 平分BCD点 E 在 AD 上求证BC=AB+CD。 例2 已知如图 1-3AB=2ACBAD= CADDA=DB求证 DCAC 图1-1 O A B D E F C 图1-2 A D B C E F 例3 已知如图 1-4在ABC 中C=2B,AD 平分BAC求证AB- AC=CD 分析此题的条件中还有角的平分线在证明 中还要用到构造全等三角形 此题还是证明线段的 和差倍分问题。用到的是截取法来证明的在长的 线段上截取短的线段来证明。试试看可否把短的 延长来证明呢 练习 1 已知在ABC 中AD 平分BACB= 2C求证AB+BD=AC 2 已知在ABC 中CAB=2BAE 平分CAB 交 BC 于 EAB=2AC 求证AE=2CE 3 已知在ABC 中ABAC,AD 为BAC 的平分线M 为 AD 上任一点。 求证BM-CMAB-AC 图1-4 A B C D E 4 已知D 是ABC 的BAC 的外角的平分线 AD 上的任一点连接 DB、 DC。求证BD+CDAB+AC。 二 、角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明 问题。 例1 如图 2-1已知 ABAD, BAC=FAC,CD=BC。 求证ADC+B=180 分析可由 C 向BAD 的两边作垂线。近而证ADC 与B 之和为平角。 例2 如图 2-2在ABC 中A=90 AB=ACABD=CBD。 求证BC=AB+AD 分析过 D 作 DEBC 于 E则 AD=DE=CE则构造出 全等三角形 从而得证。 此题是证明线段的和差倍分问题 从中利用了相当于截取的方法。 例3 已知如图 2-3ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P。求证BAC 的平分线也经过点 P。 分析 连接 AP证 AP 平分BAC 即可也就是证 P 到 AB、 AC 的距离相等。 练习 1如图 2-4AOP=BOP=15 PC/OA PDOA 图2-1 A B C D E F 图2-2 A B C D E 图2-3 P A B C M N D F 图2-4 B O A P D C 如果 PC=4则 PD= A 4 B 3 C 2 D 1 2已知在ABC 中C=90 AD 平分CABCD=1.5,DB=2.5.求 AC。 3已知如图 2-5, BAC=CAD,ABADCEAB AE=2 1 AB+AD.求证D+B=180 。 4.已知如图 2-6,在正方形 ABCD 中E 为 CD 的中点 F 为 BC 上的点FAE=DAE。求证AF=AD+CF。 5 已知如图 2-7在 RtABC 中ACB=90 ,CDAB垂足为 DAE 平分CAB 交 CD 于 F过 F 作 FH/AB 交 BC 于 H。求证 CF=BH。 三 作角平分线的垂线构造等腰三角形 从角的一边上的一点作角平分线的垂线 使之与角的两边相交 则截得一个等腰三角形 垂足为底边上的中点 该角平分线又成为底边上的中线和高 以利用中位线的性质与等腰三 角形的三线合一的性质。 如果题目中有垂直于角平分线的线段则延长该线段与角的另一 边相交 。 例1 已知如图 3-1BAD=DACABAC,CDAD 于 DH 是 BC 中点。 求证DH= 2 1 AB-AC 分析延长 CD 交 AB 于点 E则可得全等三角形。问题可证。 例2 已知如图 3-2AB=ACBAC=90 AD 为AB C 的平分线CEBE.求证BD=2CE。 图2-5 A B D C E 图2-6 E A BC D F 图2-7 F D C BA E H 图示3-1 A B C D H E 图3-2 D A B E F C 分析 给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线可延长此垂线 与另外一边相交近而构造出等腰三角形。 例 3已知如图 3-3 在ABC 中AD、AE 分别BAC 的内、外角平分线 过顶点 B 作 BFAD交 AD 的延长线于 F连结 FC 并延长 交 AE 于 M。 求证AM=ME。 分析由 AD、AE 是BAC 内外角平分线可得 EA AF从而有 BF/AE所以想到利用比例线段证相等。 例4 已知如图 3-4在ABC 中AD 平分BACAD=ABCMAD 交 AD 延长线于 M。求证AM= 2 1 AB+AC 分析题设中给出了角平分线 AD自然想到以 AD 为轴作对称变换作AB D 关于 AD 的对称AED然后只需证 DM= 2 1 EC另外 由求证的结果 AM= 2 1 AB+AC 即 2AM=AB+AC也可 尝试作ACM 关于 CM 的对称FCM然后只需证 DF=C F 即可。 练习 1 已知在ABC 中AB=5AC=3D 是 BC 中点AE 是BAC 的平分 线且 CEAE 于 E连接 DE求 DE。 2 已知 BE、BF 分别是ABC 的ABC 的内角与外角的平分线AFBF 于 FAEBE 于 E连接 EF 分别交 AB、AC 于 M、N求证 MN= 2 1 BC 图3-3 D B E F N A C M 图3-4 n E B A D C M F 四 、以角分线上一点做角的另一边的平行线 有角平分线时 常过角平分线上的一点作角的一边的平行线 从而构造等腰 三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交 从而也构造等腰三角形。如图 4-1 和图 4-2 所示。 图4-2 图4-1 C A B C B A F I E D H G 例 4 如图ABAC, 1=2求证ABACBDCD。 例 5 如图BCBABD 平分ABC且 AD=CD求证A+C=180。 例 6 如图ABCDAE、DE 分别平分BAD 各ADE求证AD=AB+CD。 1 2 A C D B B D C A A B E C D 练习 1. 已知如图C=2AAC=2BC。求证ABC 是直角三角形。 2已知如图AB=2AC1=2DA=DB求证DCAC 3已知 CE、AD 是ABC 的角平分线B=60求证AC=AE+CD 4已知如图在ABC 中A=90AB=ACBD 是ABC 的平分线求证 BC=AB+AD C A B A B C D A E B D C A B D C 1 2 二、 由线段和差想到的辅助线 口诀 线段和差及倍半延长缩短可试验。线段和差不等式移到同一三角去。 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时一般方法是截长补短法 1、截长在长线段中截取一段等于另两条中的一条然后证明剩下部分等 于另一条 2、补短将一条短线段延长延长部分等于另一条短线段然后证明新线 段等于长线段。 对于证明有关线段和差的不等式 通常会联系到三角形中两线段之和大于第 三边、之差小于第三边故可想办法放在一个三角形中证明。 一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时如直接证不出来可 连接两点或廷长某边构成三角形使结论中出现的线段在一个或几个三角形中 再运用三角形三边的不等关系证明如 例1、 已知如图 1-1D、E 为ABC 内两点,求证:AB+ACBD+DE+CE. 证明 法一 将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N 在AMN 中AM+ANMD+DE+NE;1 在BDM 中MB+MDBD 2 在CEN 中CN+NECE 3 由1+2+3得 AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC 法二图 1-2 延长 BD 交 AC 于 F 廷长 CE 交 BF 于 G 在ABF A BC DE N M 11图 A B C DE F G 21图 和GFC 和GDE 中有 AB+AFBD+DG+GF三角形两边之和大于第三边1 GF+FCGE+CE同上 2 DG+GEDE同上 3 由1+2+3得 AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE AB+ACBD+DE+EC。 二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来 时可连接两点或延长某边构造三角形使求证的大角在某个三角形的外角的 位置上小角处于这个三角形的内角位置上再利用外角定理 例如如图2-1已知D为ABC内的任一点求证BDCBAC。 分析因为BDC 与BAC 不在同个三角形中没有直接的联系可适当 添加辅助线构造新的三角形使BDC 处于在外角的位置BAC 处于在内角 的位置 证法一延长 BD 交 AC 于点 E这时BDC 是EDC 的外角 BDCDEC同理DECBACBDCBAC 证法二连接 AD并廷长交 BC 于 F这时BDF 是ABD 的 外角BDFBAD同理CDFCADBDF+ CDFBAD+CAD即BDCBAC。 注意利用三角形外角定理证明不等关系时通常将大角放在某三角形的外 角位置上小角放在这个三角形的内角位置上再利用不等式性质证明。 三、 有角平分线时通常在角的两边截取相等的线段构造全等三角形 如 例如如图3-1已知AD为ABC的中线且1= 2,3=4,求证BE+CFEF。 A BC D E F G 12 图 A B C D EF N 13 图 1 23 4 分析要证 BE+CFEF可利用三角形三边关系定理证明须把 BECF EF 移到同一个三角形中而由已知1=2 3=4可在角的两边截取相等的线段利用三角形全等对应边相等把 ENFNEF 移到同个三角形中。 证明在 DN 上截取 DN=DB连接 NENF则 DN=DC 在DBE 和NDE 中 DN=DB辅助线作法 1=