二、 函数的间断点及其分类 一、 函数连续性的概念 二、 函数的间断点及其分类 一、 函数连续性的概念 第八节第八节 函数的连续性 三、连续函数的运算法则 四、 初等函数的连续性 三、连续函数的运算法则 四、 初等函数的连续性 第一一章 一、函数连续性的概念一、函数连续性的概念 第一类第一类(可去可去) 间断点 第一类 间断点 第一类(跳跃跳跃) 间断点 第二类 间断点 第二类(无穷无穷) 间断点 第二类间断点 间断点 第二类间断点 x y O x y O x y O x y O 1 1 定义定义1.10 .)()( 00 内有定义的某邻域在点设内有定义的某邻域在点设xUxxf 1.函数在一点连续的定义函数在一点连续的定义 存在；存在；)(lim) 1 ( 0 xf xx 若若 )()(lim) 2( 0 0 xfxf xx = = 则称函数则称函数.)( 0处连续 在点处连续在点xxf 注注 1函数在一点连续的等价定义之一函数在一点连续的等价定义之一 设有函数设有函数 y = f (x). 当自变量当自变量 x 从从增量概念增量概念: 0 x变到变到 , 0 xx + + x 则称为则称为自变量的增量自变量的增量(或改变量或改变量). 若相应地函数若相应地函数 y 从从 )( 0 xf),( 0 xxf + + 变到则称变到则称 )()( 00 xfxxfy + += = 为为函数的增量函数的增量(或改变量或改变量). 定义定义1.9（函数在一点连续的增量定义）（函数在一点连续的增量定义） ,0 0 xxx就是就是 .0)()( 0 yxfxf就是就是 .0lim 0 = = y x .)()( 00 内有定义的某邻域在点设内有定义的某邻域在点设xUxxf 处连续在点处连续在点 0 )(xxf 定义）定义）（函数在一点连续的函数在一点连续的“ .)()( , , 0, 0 0 0 xfxf xx 恒有恒有 时使当时使当 2函数在一点连续的等价定义之二函数在一点连续的等价定义之二 处连续在点处连续在点 0 )(xxf 3 ).()(lim)3( )(lim)2( )() 1 ( 0 0 0 0 xfxf xf xf xx xx = = 存在； 有意义； 存在； 有意义； 定义定义1.11 f(x)在点在点 x0处连续的处连续的三要素：三要素： . 0 , 0, 0 , 0, 1 sin )( 处连续 在试证函数= = = 处连续 在试证函数= = =x x x x x xf 证证 , 0 1 sinlim 0 = = x x x Q , 0)0(= =f又又 .0)(处连续在处连续在函函数数= =xxf ),0()(lim 0 fxf x = = 例例1 2. 单侧连续单侧连续 处在点则称 且内有定义在若函数 处在点则称 且内有定义在若函数 0 000 )( ),()(,()( xxf xfxfxaxf= = 左连续；左连续； 处在点则称 且内有定义在若函数 处在点则称 且内有定义在若函数 0 000 )( ),()(,),)( xxf xfxfbxxf= = + + 右连续.右连续. 定理定理 处连续点在处连续点在函函数数 0 )(xxf 处既左连续又右连续点在处既左连续又右连续点在 0 )(xxf ).()()( 000 xfxfxf= + + 例例2 解解 + = + + x x x x a a a时，时，当当 510 510 lim)0( 1 1 0 + + = + + = + + x x x f x x x 1 1 0 1051 1051 lim + + + + = =1= = )0()0()0()0( + + + + ffff均存在，但与均存在，但与 .)(0点的第一类（跳跃）间断是点的第一类（跳跃）间断是xfx = = 0lim lim 1 = += = += + + x x x x a a a时，时，当当 = xy aaay a x 证证1 )4(1lim已证第三节例=已证第三节例= n n a 2. 1lim 0 = = x x a需证需证： 例例7 ，0xQ = = x n 1 令令 , 1 x n 则则 ， n x 1 0a n x n aaa 11 nx则有，令则有，令0 由由夹逼准则夹逼准则及及1，可得，可得. 1lim 0 = = x x a ,10时时当当+ = = 1,4 1, )( xx xx x 例例11设设, 1,2 1, )( 2 = = xx xx xf 解解 讨论复合函数讨论复合函数 )(xf 的连续性的连续性. = = )(xf = = 1, 2 xx 1,2 xx 1)(),( 2 xx 1)(, )(2 xx 故此时连续故此时连续; 而而)(lim 1 xf x 2 1 lim x x = =1= = )(lim 1 xf x + + )2(lim 1 x x = = + + 3 = = 故故 )(xf x= 1为第一类在点为第一类在点x= 1不连续不连续, ,)(1为初等函数时为初等函数时xfx 间断点间断点. = = )(xf = = 1, 2 xx 1,2 xx 内容小结内容小结 )()(lim 0 0 xfxf xx = = 0)()(lim 00 0 = = + + xfxxf x )()()( 000 + + = =xfxfxf 左连续左连续右连续右连续 . 2 0 x 第一类间断点第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一 个不存在 左右极限至少有一 个不存在 在点间断的类型在点间断的类型 . 1 0 x在点连续的等价形式在点连续的等价形式 其它间断点其它间断点 )(xf )(xf 3. 基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的连续函数的四则运算四则运算的结果连续 连续函数的 的结果连续 连续函数的反函数反函数连续 连续函数的 连续 连续函数的复合函数复合函数连续连续 初等函数在初等函数在 定义区间定义区间内 连续 内 连续 说明说明: 分段函数在分段点处是否连续需讨论其 左、右连续性 分段函数在分段点处是否连续需讨论其 左、右连续性. 思考题思考题 1. 讨论函数讨论函数 23 1 )( 2 2 + + = = xx x xf x= 2 是第二类是第二类(无穷无穷)间断点间断点. 间断点的类型间断点的类型. 2. 设设 + = + = 0, 0,sin )( 2 1 xxa xx xf x _,= =a 时时 提示提示:,0)0(= = f= = + + )0(f)0(fa= = )(xf为 连续函数 为 连续函数. 答案答案:x= 1 是第一类是第一类(可去可去)间断点间断点, 0 3. ,)( 0 连续在点若连续在点若xxf是否连在是否连在问问 0 2 )(, )(xxfxf 续续? 反之是否成立反之是否成立? 解解Q)(xf在在 0 x连续，连续，)()(lim 0 0 xfxf xx = = )()()()(0 00 xfxfxfxf 且且 )()(lim 0 0 xfxf xx = = = = )(lim)(lim)(lim 000 2 xfxfxf xxxxxx )( 0 2 xf= = 故故 | )(|xf、)( 2 xf都在都在 0 x连续连续. 反例：反例： = = ,1 ,1 )(xf x为有理数为有理数 x为无理数为无理数 )(xf 处处间断处处间断, )(, )( 2 xfxf 处处连续 ，但处处连续 ，但 “反之反之”不成立不成立. 4.试分别举出试分别举出 LL, 1 , 2 1 , 2, 1, 0)1( n nx= 是是f (x) 的所有间断点的所有间断点,且它们都是无穷间断点；且它们都是无穷间断点； (2) f (x)在在R上处处不连续，但上处处不连续，但)(xf 在在R上处处连续；上处处连续； (3) f (x)在在R上处处有定义，但仅在一点连续上处处有定义，但仅在一点连续. x x xf sin 1 sin 1 )()1(+=+=解解 具有以下性质的函数具有以下性质的函数f(x) 的例子：的例子： = =)()3(xf 是有理数是有理数x,x 是无理数是无理数x,x x y o = =)()2(xf 是有理数是有理数x,1 是无理数是无理数x ,1 x y o 1 1 5.求求. )1(lim 2 xxx x + + + + 解解原式原式= xx xxxxx x + + + + + + 1 )1)(1( lim 2 22 1 1 1 1 lim 2 + = + = + + x x 2 1 = = 方法方法2 令令, 1 x t = = t t t t 1 1 11 lim 2 0 + + + + 2 1 = 则 原式 = 则 原式= 2 2 0 11 lim t t t + = + = + + 11 1 lim 2 0+ = + = + + tt + +x )11( )11)(11( lim 22 22 0+ + = + + + = + tt tt t xx x x + + + = = + + 1 lim 2 + + 0t时 ， 时 ， 方法方法1 6试确定常数试确定常数a使使.0)1(lim 33 = xax x 解解令令 , 1 x t =则=则 t a t t = = 3 3 0 1 1lim0 01= = a t at t = = 33 0 1 lim 01lim 33 0 = at t 故故 1 = =a因此因此 . 0 , 0, 2 , 0, 2 )( 连续性 处的在讨论函数= = = )(lim, 0)(lim 00 若证明： 若证明： 证证 )( )( xg xfy = = )(ln)(lim)(lim 00 xfxgxu xxxx = =Q 均为实数，则其中均为实数，则其中ba, .)(lim )( 0 bxg xx axf= = )( )( xg xfy= = )(ln)(lnxfxgy= = )(ln)(ln