周道祥,平面问题的基本理论,第二章,合肥工业大学本科生教学,弹性力学,授课班级：勘查11级 主讲教师：袁海平 (副教授、博士后),一、平面应力问题与平面应变问题 二、平衡微分方程 三、平面问题中一点的应力状态 四、几何方程 刚体位移 五、物理方程 六、边界条件 七、圣维南原理及其应用 八、按位移求解平面问题 九、按应力求解平面问题 相容方程 十、常体力情况下的简化 应力函数,第二章 平面问题的基本理论,内容提要,弹性力学简明教程(第三版),徐芝纶院士(1911-1999),两类平面问题的概念 建立平面问题的基本方程：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程 平面问题的边界条件 相容方程,第一章 绪论,重点与难点,弹性力学简明教程(第三版),徐芝纶院士(1911-1999),重点,两类平面问题的异同点 列出应力边界条件,难点,弹性力学,平面问题的基本理论,4,1. 平面应力问题,(1) 几何特征,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。, 平板,如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等,(2) 受力特征,外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化。,平面应力问题与平面应变问题,一,弹性力学,平面问题的基本理论,5,如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。,由于板面上不受力，有,板薄，外力沿 z 轴方向不变,整个薄板各点,由剪应力互等定理，有,1. 平面应力问题,(3) 应力特征,平面应力问题与平面应变问题,一,弹性力学,平面问题的基本理论,6,平面应力问题只有三个应力分量,应变分量、位移分量仅为 x、y 的函数，与 z 无关,1. 平面应力问题,结论：,平面应力问题与平面应变问题,一,弹性力学,平面问题的基本理论,7,(1) 几何特征,水坝,滚柱,厚壁圆筒,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。, 近似认为无限长,(2) 外力特征,外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。,约束 沿长度 z 方向不变化。,2. 平面应变问题,平面应力问题与平面应变问题,一,弹性力学,平面问题的基本理论,8,(3) 变形特征,以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。设 z方向为无限长，则,沿 z 方向都不变化，仅为 x，y 的函数。,2. 平面应变问题,平面应力问题与平面应变问题,一,水坝,任一横截面均可视为对称面，则有,弹性力学,平面问题的基本理论,9,所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。, 平面位移问题, 平面应变问题,注：,(1)平面应变问题中,但,(2)平面应变问题中应力分量：, 仅为 x y 的函数。,(3) 变形特征,2. 平面应变问题,平面应力问题与平面应变问题,一,滚柱,弹性力学,平面问题的基本理论,10,教学互动：如下三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？,平面应力问题,平面应变问题,非平面问题,平面应力问题与平面应变问题,一,弹性力学,平面问题的基本理论,11,问题：,已知：外力（体力、面力）、边界条件，,求：, 仅为 x y 的函数,需建立三个方面的关系：,静力学关系：应力与体力、面力间的关系 几何学关系：形变与位移间的关系 物理学关系：形变与应力间的关系,建立边界条件：, 平衡微分方程, 几何方程, 物理方程,应力边界条件,位移边界条件,3. 平面问题的求解,平面应力问题与平面应变问题,一,一、平面应力问题与平面应变问题 二、平衡微分方程 三、平面问题中一点的应力状态 四、几何方程 刚体位移 五、物理方程 六、边界条件 七、圣维南原理及其应用 八、按位移求解平面问题 九、按应力求解平面问题 相容方程 十、常体力情况下的简化 应力函数,第二章 平面问题的基本理论,内容提要,弹性力学简明教程(第三版),徐芝纶院士(1911-1999),弹性力学,平面问题的基本理论,13,取微元体PABC（P点附近），,Z 方向取单位长度。,设P点应力已知：,体力：X ，Y,AC面：,平衡微分方程,二,BC面：,注：这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。,弹性力学,平面问题的基本理论,14,以通过中心并平行于z轴的直线为矩轴，由微元体PABC平衡，得,平衡微分方程,二, 剪应力互等定理,弹性力学,平面问题的基本理论,15,两边同除以dx dy，并整理得：,两边同除以dx dy，并整理得：,平衡微分方程,二,弹性力学,平面问题的基本理论,16,平面问题的平衡微分方程：,说明：,平衡微分方程,二,一、平面应力问题与平面应变问题 二、平衡微分方程 三、平面问题中一点的应力状态 四、几何方程 刚体位移 五、物理方程 六、边界条件 七、圣维南原理及其应用 八、按位移求解平面问题 九、按应力求解平面问题 相容方程 十、常体力情况下的简化 应力函数,第二章 平面问题的基本理论,内容提要,弹性力学简明教程(第三版),徐芝纶院士(1911-1999),弹性力学,平面问题的基本理论,18,1. 斜面上的应力,（1）斜面上应力在坐标方向的分量Xn，Yn,设P点的应力分量已知：,斜面AB上的应力矢量: s,斜面外法线 n 的关于坐标轴的方向余弦：,由微元体平衡：,整理得：,外法线,平面问题中一点的应力状态,三,整理得：,弹性力学,平面问题的基本理论,19,（2）斜面上的正应力与剪应力,说明：,将 n 转动90而到达 的方向是顺时针，则为正；反之为负。,1. 斜面上的应力,平面问题中一点的应力状态,三,运用了剪应力互等定理： 的正负号规定：,弹性力学,平面问题的基本理论,20,若某一斜面上 ，则该斜面上的正应力 称为该点一个主应力 。,当 时，有,求解得：, 平面应力状态主应力的计算公式,2. 一点的主应力与应力主向主应力,平面问题中一点的应力状态,三,和,弹性力学,平面问题的基本理论,21,主应力 所在的平面 称为主平面,主应力 所在平面的法线方向 称为应力主向,设1 与 x 轴的夹角为1， 1与坐标轴正向的方向余弦为 l1、m1，则,设2 与 x 轴的夹角为2， 2与坐标轴正向的方向余弦为 l2、m2，则,2. 一点的主应力与应力主向主应力方向,平面问题中一点的应力状态,三,弹性力学,平面问题的基本理论,22,应力主向计算式：,1 与 2 互相垂直。,2. 一点的主应力与应力主向 的主应力表示,平面问题中一点的应力状态,三,结论,由,弹性力学,平面问题的基本理论,23,由,2. 一点的主应力与应力主向最大、最小剪应力,平面问题中一点的应力状态,三,显然，当 时， 为最大、最小值：,、 的方向与1 （ 2 ）成45。,弹性力学,平面问题的基本理论,24,2. 一点的主应力与应力主向最大、最小剪应力,平面问题中一点的应力状态,三,、 的方向与1 （ 2 ）成45。,一、平面应力问题与平面应变问题 二、平衡微分方程 三、平面问题中一点的应力状态 四、几何方程 刚体位移 五、物理方程 六、边界条件 七、圣维南原理及其应用 八、按位移求解平面问题 九、按应力求解平面问题 相容方程 十、常体力情况下的简化 应力函数,第二章 平面问题的基本理论,内容提要,弹性力学简明教程(第三版),徐芝纶院士(1911-1999),弹性力学,平面问题的基本理论,26,建立：平面问题中应变与位移的关系 几何方程,一点的变形,考察P点邻域内线段的变形：,变形前,变形后,四,注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。,几何方程 刚体位移几何方程,弹性力学,平面问题的基本理论,27,PA的正应变：,PB的正应变：,P点的剪应变：,P点两直角线段夹角的变化,几何方程 刚体位移几何方程,四,弹性力学,平面问题的基本理论,28,整理得：,几何方程,说明：,（1）,反映任一点位移与应变关系，是弹性力学的基本方程之一。,（2）,当 u、v 已知，则 可完全确定；反之，已知 ，不能确定u、v。,（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）,（3）, 以两线段夹角减小为正，增大为负。,几何方程 刚体位移几何方程,四,弹性力学,平面问题的基本理论,29,物体无变形，只有刚体位移。 即：,由(a)、(b)可求得：,或写成：,上式中，左边仅为 y 的函数，右边仅 x 的函数，两边只能等于同一常数，即,(e),积分(e) ，得：,(f),其中，u0、v0为积分常数。 （x、y方向的刚体位移），代入（d）得:, 刚体位移表达式,将(d)代入(c)，得：,几何方程 刚体位移刚体位移,四,弹性力学,平面问题的基本理论,30,讨论：, 刚体位移表达式,（1）,仅有x方向平移。,（2）,仅有y方向平移。,（3）,r,说明：, P点沿切向绕O点转动, 绕O点转过的角度（刚性转动）,几何方程 刚体位移刚体位移,四,一、平面应力问题与平面应变问题 二、平衡微分方程 三、平面问题中一点的应力状态 四、几何方程 刚体位移 五、物理方程 六、边界条件 七、圣维南原理及其应用 八、按位移求解平面问题 九、按应力求解平面问题 相容方程 十、常体力情况下的简化 应力函数,第二章 平面问题的基本理论,内容提要,弹性力学简明教程(第三版),徐芝纶院士(1911-1999),弹性力学,平面问题的基本理论,32,建立：平面问题中应力与应变的关系,物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。,1. 各向同性弹性体的物理方程,在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律。,其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为侧向收缩系数，又称泊松比。,物理方程,五,弹性力学,平面问题的基本理论,33,由于平面应力问题中, 平面应力问题的物理方程,注：,(1), 物理方程的另一形式,物理方程平面应力问题的物理方程,五,(2),弹性力学,平面问题的基本理论,34,由于平面应变问题中, 平面应变问题的物理方程,注：,平面应变问题中,但,物理方程平面应变问题的物理方程,五,一、平面应力问题与平面应变问题 二、平衡微分方程 三、平面问题中一点的应力状态 四、几何方程 刚体位移 五、物理方程 六、边界条件 七、圣维南原理及其应用 八、按位移求解平面问题 九、按应力求解平面问题 相容方程 十、常体力情况下的简化 应力函数,第二章 平面问题的基本理论,内容提要,弹性力学简明教程(第三版),徐芝纶院士(1911-1999),弹性力学,平面问题的基本理论,36,（1）平衡方程,（2-2）,（3）物理方程,(2-12)或(2-13),边界条件弹性力学平面问题的基本方程,六,（2-8）,未知量数：,8个,方程数：,8个,结论：在适当的边界条件下，上述8个方程可解。,（2）几何方程,引例：,弹性力学,平面问题的基本理论,37,边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力间的关系式，是力学计算建模的重要环节。,边界分类,（1）位移边界,（2）应力边界,（3）混合边界, 三类边界,（1）位移边界条件,位移分量已知的边界 位移边界,用us 、 vs表示边界上的位移分量， 表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：, 平面问题的位移边界条件,边界条件边界条件及其分类,六,弹性力学,平面问题的基本理论,38,（2）应力边界条件,给定面力分量 边界 应力边界,由前面斜面的应力分析，得,式中取：,得平面问题的应力边界条件,六,边界条件边界条件及其分类,垂