,第九章 梁的应力,Chapter . Stress Analysis of Beam,Architetural Mechanics,建筑力学,截面的几何性质 平面弯曲时梁横截面上的正应力 梁横截面上的切应力 梁的正应力和切应力强度条件 梁的合理截面,9 梁的应力,面积矩与形心位置 惯性矩、惯性积、极惯性矩 平行移轴定理,9-1 截面的几何性质,9-1-1 面积矩与形心位置,一、面积（对轴）矩：(与力矩类似) 是面积与它到轴的距离之积。,附录,二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。),附录,等于形心坐标,例1 试确定下图的形心。,解 ： 组合图形，用正负面积法解之。,1.用正面积法求解，图形分割及坐标如图(a),附录,2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b),图(b),C1（0,0） C2（5,5）,附录,9-1-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩,一、惯性矩：(与转动惯量类似） 是面积与它到轴的距离的平方之积。,附录,二、极惯性矩： 是面积对极点的二次矩。,附录,三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。,如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0,9-1-3 平行移轴定理,一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）,以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图,附录,注意: C点必须为形心,附录,例2 求图示圆对其切线AB的惯性矩。,解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； 二是用平行移轴定理等知识求。,B,建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。,附录,A,d,圆,弯曲应力,飞云江桥位于浙江省瑞安县、跨飞云江。是中国最大跨度的预应力混凝土简支梁桥。桥全长，分跨为(），最大跨度，梁高，高跨比；混凝土标号；桥面宽。,92 梁横截面上的弯曲正应力,弯曲应力,弯矩图-习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标明正负号。 轴力和剪力图-可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号。 （轴力以受拉为正，反之为负；剪力以绕隔离体顺时针为正，反之为负）,梁的弯曲内力,引言,弯曲应力,1、弯曲构件横截面上的（内力）应力,平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况) 平面弯曲时横截面t 剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况),弯曲应力,2、研究方法,纵向对称面,P1,P2,例如：,某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。,弯曲应力,P,P,a,a,A,B,Q,M,x,x,纯弯曲(Pure Bending):,平面弯曲时梁横截面上的正应力,1.梁的纯弯曲实验,横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。,（一）变形几何规律：,一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力,弯曲应力,横截面上只有正应力。,平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。,（可由对称性及无限分割法证明）,3.推论,弯曲应力,2.两个概念,中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。,4. 几何方程：,弯曲应力,（二）物理关系：,假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应 力状态。,弯曲应力,（三）静力学关系：,弯曲应力,（对称面）, (3),（四）最大正应力：,弯曲应力, (5),例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求： （1）11截面上1、2两点的正应力； （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； （4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。,弯曲应力,解：画M图求截面弯矩,弯曲应力,求应力,求曲率半径,弯曲应力,9-3 梁横截面上的切应力,一、 矩形截面梁横截面上的切应力,1、两点假设： 切应力与剪力平行； 矩中性轴等距离处，切应力 相等。,2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，平衡,弯曲应力,Q(x)+d Q(x),M(x),y,M(x)+d M(x),Q(x),dx,图a,图b,图c,弯曲应力,Q(x)+d Q(x),M(x),y,M(x)+d M(x),Q(x),dx,图a,图b,图c,由切应力互等,(First moment of area),弯曲应力,t方向：与横截面上剪力方向相同； t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。 最大切应力为平均切应力的1.5倍。,二、其它截面梁横截面上的剪应力,1、研究方法与矩形截面同;切应力的计算公式亦为：,其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩 (First moment of area) ；,2、几种常见截面的最大弯曲剪应力,弯曲应力,Iz为整个截面对z轴之惯性矩(moment of inertia of an area)； b 为y点处截面宽度。,槽钢：,弯曲应力,9-4 梁的强度条件 梁的合理截面,弯曲应力,1、危险面与危险点分析：,一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。,弯曲应力,一、梁的正应力和切应力强度条件,2、正应力和切应力强度条件：,带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大切应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）,弯曲应力,3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：,4、需要校核剪应力的几种特殊情况：,铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。,梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核切应力。,各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。,、校核强度：,弯曲应力,解：画内力图求危面内力,例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。,弯曲应力,A,B,L=3m,求最大应力并校核强度,应力之比,弯曲应力,解：画弯矩图并求危面内力,例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？,4,弯曲应力,画危面应力分布图，找危险点,校核强度,T字头在上面合理。,弯曲应力,二、梁的合理截面,（一）矩形木梁的合理高宽比,北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5,英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为,弯曲应力,强度：正应力：,剪应力：,1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,其它材料与其它截面形状梁的合理截面,弯曲应力,弯曲应力,工字形截面与框形截面类似。,弯曲应力,对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：,弯曲应力,2、根据材料特性选择截面形状,弯曲应力,（二）采用变截面梁 ，如下图：,最好是等强度梁，即,若为等强度矩形截面，则高为,同时,例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力=160MPa，校核该梁的强度。,CL8TU10,解：由弯矩图可见,该梁满足强度条件，安全,例：图示三种截面梁，材质、截面内max、max全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。,CL8TU11,解：由题意可知,即,例：图示铸铁梁，许用拉应力t =30MPa，许用压应力c =60MPa,z=7.6310-6m4，试校核此梁的强度。,CL8TU12,C截面：,B截面：,例：简支梁AB，在截面下边缘贴一应变片，测得其应变= 610-4，材料的弹性模量 E=200GPa，求载荷P的大小。,CL8TU13,解：,C点的应力,C截面的弯矩,由,得,例：简支梁受均布荷载，在其截面的下边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为多大？,CL8TU14,解：,C截面下边缘的应力,C截面的弯矩,应变值,例：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。,CL8TU15,解：,