1,4.4 有理函数的积分,有理函数的积分,可化为有理函数的 积分举例,rational function,2,定义,两个多项式的商表示的函数称之为有理函数.,一、有理函数的积分,假定分子与分母之间没有公因式,真分式;,假分式.,3,例,多项式的积分容易计算.,有理真分式的积分.,只讨论:,多项式,真分式,有理函数,多项式 + 真分式,分解,若干部分分式之和,4,有理真分式可以分解为一些最简单的分式之和， 例如 因此，有下列问题需要解决： （1）哪几类分式是最简分式（部分分式）？ （2）怎样把一个有理真分式分解为若干个部分分式之和？ （3）如何求各类部分分式的积分？ 如果这三个问题解决了，则有理真分式的积分问题也就解决了，从而有理函数的积分问题也就解决了。,5,对一般有理真分式的积分,代数学中下述定理起着关键性的作用.,定理,6,部分分式(最简分式).,（1）分母中若有因式 ，则分解后为,注：有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,9,用此定理有理函数的积分就易计算了.,且由下面的例题可看出:,有理函数的积分是初等函数.,系数的确定,一般有两种方法:,(1) 等式两边同次幂系数相等;,(2) 赋值;,10,例 求,解,由多项式除法,有,说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分.,假分式,11,例 求,解,比较系数,12,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例 求,解,(1),(1),赋值,13,于是,14,例 求,解,比较系数,二次质因式,15,16,任意有理真分式的不定积分都归纳为下列,其中A,B, a, p, q都为常数,分别讨论上述几种类型的不定积分.,并设,四种典型部分分式的积分之和.,n为大于1的正整数.,17,18,19,解,例,分母是二次质因式的真分式的不定积分,21,22,用递推公式,23,应重点提高计算的,(1) 部分分式法;,此法一般运算较繁.,(2) 拆项法;,(分项积分法),(3) 换元法;,(4) 配方法.,有理函数积分是三角函数有理式积分、,无理函数积分的基础,熟练程度和技巧,一般有以下方法:,24,例 求,分析,解,原式=,分项,凑微分,从理论上看,可用部分分式法,但计算复杂,故不宜轻易使用,应尽量考虑其它方法.,约去公因子,配方,25,例 求,解,是二次质因式,原式=,递推公式,法一,不能再分解.,26,求,解,原式=,回代,递推公式,法二,27,例 求,解,原式=,这是有理函数的积分.,如按部分分式法很麻烦.,使分母为单项,作变换,分析,分母是100 次多项式,如作一个适当的变换,而分子为多项,除一下,化为和差,的积分.,28,或,分项,例 求,常规方法:,第一步 令,比较系数定 a , b , c , d . 得,第二步 化为部分分式 . 即令,比较系数定 A , B , C , D .,第三步 分项积分 .,此解法较繁 !,30,技巧,例 求,解,原式=,31,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过,有限次四则运算,构成的函数称之.,一般记为,如,二、可化为有理函数的积分举例,1. 三角函数有理式的积分,和分部积分法讨论过一些.,对于三角函数有理式的积分,曾用换元法,是否任何一个三角函数有理式的积分都有原函数,回答是肯定的.,?,32,由三角学知识,可通过变换,事实上,由,万能公式代换,则,表示.,化为有理函数的积分.,u的有理函数,例 求积分,解,由万能置换公式,36,例 求,解 法一,回代,37,法二,不用万能代换公式,比较以上两种解法,便知万能代换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能代换.,如,若用万能代换，则,化部分分式比较困难,但若是凑微分，则比较简单,39,(1) 尽量使分母简单.,基本思路,或分子分母同乘以某个,因子,把分母化为,的单项式,或将分母整个看成一项.,(2) 尽量使,的幂降低.,用倍角公式或积化和差公式以达目的.,为此常利,40,类型,解决方法,作代换去掉根号.,通常先将,配方,再用三角变换化为三角函数有理式的积分或,直接利用积分公式计算.,2. 简单无理函数的积分,41,回代,例,解 令,原式=,例 求积分,解 令,说明,无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.,43,例 求,解,先将无理函数的分子或分母有理化.,分析,原式,例,解一,令,解二,令,47,2. 简单无理式的积分.,有理式分解成部分分式之和的积分.,（注意：必须化成真分式）,1. 三角有理式的积分.（万能代换公式）,（注意：万能公式并不是最佳代换）,三、小结,可化为有理式的积分.,思考与练习,如何求下列积分更简便 ?,解: 1.,2. 原式,49,作业,习题4-4 (218页),3. 5. 13. 21. 22.,