第25章 量子力学基础,25-1 德布罗意假设 波-粒二象性,1. 德布罗意假设,德布罗意在光的波粒二象性的启发下，提出了实物粒子（如电子、质子等）也具有波-粒二象性的假设。,德布罗意,与实物粒子相联系的波 德布罗意波(物质波),德布罗意公式,实验验证,1. 电子通过金多晶薄膜的衍射实验。 （汤姆逊1927）,2. 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验。 （约恩逊1961),3. 30年代以后，实验发现，中子、质子、中性原子都具有衍射现象。,4. 自然界中的一切微观粒子，都具有波粒二象性。,应用,电子等实物粒子的波长比光波波长小的多, 利用高速电子束代替光束制成显微镜,电子显微镜,解： 由得布罗意公式得：,例题； 一质量m=0.05的子弹,以速率 运动着,其得布罗意波长为多少?,由此可见，对于一般的宏观物体,其物质波波长是很小的，很难显示波动性。,德布罗意波,例题： 试估算热中子的得布罗意波长 (中子的质量 mn=1.6710-27)。热中子是指在室温下(T=300K) 与周围处于热平衡的中子.,解 : 热中子的平均动能：,它的方均根速率：,相应的得布罗意波长：,德布罗意波,例题； 电子在铝箔上散射时,第一级最大(k=1)的偏转角 为 ,铝的晶格常数a为4.0510-10m,求电子速度。,解 ： 参看图示,第一级最大的条件是：,按得布罗意公式,把m按静质量计算，得：,德布罗意波,25-2 不确定度关系,一. 不确定关系,经典力学,质点 确定的位置和动量,微观粒子,具有波动性即不具有确定的位置和动量,1927年德国物理学家海森伯（W.Heisenberg）根据量子力学 推出微观粒子在位置与动量两者不确定量间的关系,在某一方向(如x方向)粒子的位置不确定量x和该方向上的动量的不确定量px有,电子的单缝衍射,二. 简单推导,x坐标的不 确定量,由于衍射,电子的速度 方向改变,电子可能出 现在-到+的范围内,考虑次极大,经严格证明此式应改写为：,讨论:,不确定关系表明微观粒子位置的准确度与相应的动量准确 度值成反比；, px 0 px确定 粒子位置完全不确定 平面波,不确定关系可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经 典力学来描写还是用量子力学来描写;,3. 另一个不确定关系,t 稳定状态 能量确定,由于,根据不确定性关系得,解 ： 枪口直径可以当作子弹射出枪口时位置的不确定 量 。,和子弹飞行速度每秒几百米相比 ,这速度的不确定性是微不足道的,所以子弹的运动速度是确定的。,例题： 设子弹的质量为0.01,枪口的直径为0.5。 试求子弹射出枪口时的横向速度的不确定量。,不确定度关系,例题： 电视显像管中电子的加速度电压为10kV,电 子枪的枪口的直径为0.01.试求电子射出 电子枪后的横向速度的不确定量。,解： 电子横向位置的不确定量,由于 ,所以电子运动速度相对来说仍然是相当确定的,波动性不起什么实际影响。,不确定度关系,例题： 试求原子中电子速度的不确定量, 取原子的线 度约为 10-10 m。,由不确定关系式得,解 原子中电子位置的不确定量,由玻尔理论可估算出氢原子中电子的轨道运动速度约为 ,可见速度的不确定量与速度大小的数量级基本相同.因此原子中电子在任一时刻没有完全确定的位置和速度,也没有确定的轨道,不能看成经典粒子,波动性十分显著。,不确定度关系,例题: 实验测定原子核线度的数量级为10-14m，试 应用不确定度关系来估算电子如被束缚在原 子核中的动能。从而判断原子核是由质子和 电子组成是否可能。,由于动量的数值不可能小于它不确定量，故电子的动量,解 取电子在原子核中位置的不确定量,由不确定度关系得,不确定度关系,理论证明，电子具有这样大的动能足以把原子核击碎，所以，把电子禁锢在原子核内是不可能的，这就否定了原子核是由质子和电子组成的假设。,电子在原子核中的动能,故,考虑到电子在此动量下有极高的速度，需要应用相对论的能量动量公式,不确定度关系,例题: 假定电子在 某激发态的平均寿命是 若从某激发态向基态跃迁的辐射波长是400nm，求：谱线宽度,分析：,25-3 波函数 薛定谔方程,一. 概率波,物质波是一种概率波,反映粒子在空间分布的几率,电子的双缝衍射,28个电子通过双缝,1000个电子通过双缝,10000个电子通过双缝,数百万个电子通过双缝,物质波的物理意义可以通过与光波的对比来阐明,物质波的强度大,光强度大,光波振幅平方大,（波动观点）,光子在该处出现 的概率大,（微粒观点）,波函数的平方大,单个粒子在该处出现的概率大,（波动观点）,（微粒观点）,波函数,二. 波函数 ,描述物质波的数学表达式,一束沿x轴传播的单色平面波,指数形式,1. 波函数 ,沿x轴运动的单能粒子束,自由粒子的波函数,2. 概率密度,在空间一很小区域(以体积元dV=dxdydz表征)出现粒子的概率为：,概率密度,表示在某一时刻在某点处单位体积内粒子出现的概率。,3. 波函数的归一化条件,粒子在任意时刻在整个空间出现的概率等于1,波函数的归一化条件,4. 波函数的标准条件,单值, 有限, 连续, 归一化,三. 薛定锷方程,薛定锷,波函数与粒子所处条件的关系式,1. 薛定锷方程,一维非相对论形式,三维,拉普拉斯算符,2. 定态薛定锷方程,势能与时间无关时的波函数,空间坐标 函数,时间函数,(r)满足,求解某些特殊情况的波函数,注意:,薛定锷方程是量子力学的基本方程，好似牛顿定律是经典 力学的基本方程一样。它不是从理论推导出来的，它的正确性 只能由实验来决定。经典力学和牛顿定律适用于宏观粒子，薛 定锷方程适用于微观粒子。,试求：（1）常数 A； （2）粒子在0到 a/2区域出现的概率； （3）粒子在何处出现的概率最大？,例：作一微运动的粒子被束缚在0xa的范围内。 已知其波函数为,解:（1）由归一化条件得:,（2）粒子的概率密度为:,波函数,在0xa/2区域内，粒子出现的概率为：,（3）概率最大的位置应满足,因0xa,波函数,25-4 一维势阱,一. 一维无限深势阱,在一维空间运动的粒子的势能在某区域内为零,在此区域外为无限大。,二. 由定态薛定锷方程求波函数,1. 根据具体问题写出势能函数,势能函数,势阱内 U=0,保守力与势能之间的关系：,在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的力，表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概率为0。,2. 根据条件写出定态薛定锷方程,定态薛定锷方程,k 2,通解,3. 由边界条件及归一化条件求出A,B,k的值,因粒子只能在势阱内,由归一化条件,4. 写出波函数,讨论:,1. 概率密度（一维无限深势阱）,不受外力的粒子在0到 a 范围内 出现概率处处相等。,量子论观点：,经典观点：,概率密度随x变化,与n有关,如果是有限深势阱，粒子出现的概率分布,如果势阱不是无限深，粒子的能量又低于势壁，粒子在阱外不远处出现的概率不为零。,一维无限深势阱,2. 粒子能量,不同能级,粒子的波函数不同,能量取分立值（能级），能量量子化是粒子处于束缚态的所具有的性质。,最小能量,也称为基态能或零点能。,零点能的存在与不确定度关系协调一致。,称为粒子在无限深势阱中能量的本征值,（一维无限深势阱）,得到两相邻能级的能量差,例题 ： 设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别 为1.010-2m和10-10m 。试讨论这两种情况下 相邻能级的能量差。,解： 根据势阱中的能量公式,当a=1cm时,可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而且与粒子的质量m和势阱的宽度a有关。,一维无限深势阱,在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的，我们可以把电子的能级看作是连续的。,当a=10-10m时,在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的，这时电子能量的量子化就明显的表现出来。,一维无限深势阱,可见能级的相对间隔 随着n的增加成反比地减小。当 时 ， 较之 要小的多。这时，能量的量子化效应就不显著了，可认为能量是连续的，经典图样和量子图样趋于一致。所以，经典物理可以看作是量子物理中量子数 时的极限情况。,一维无限深势阱,当 时 ,能级的相对间隔近似为,例题： 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大 值的位置。,解： 一维无限深势阱中粒子的概率密度为,将上式对x求导一次，并令它等于零,因为在阱内，即,只有,一维无限深势阱,于是,由此解得最大值得位置为,例如,最大值位置,最大值位置,最大值位置,可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。,一维无限深势阱,这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。,相邻两个最大值之间的距离,如果阱宽a不变，当,时,一维无限深势阱,25.5 势垒与隧道效应,一. 势垒,势能函数,二. 波函数,能量E(EU0)的粒子从左边射入,定态薛定锷方程,令,三. 隧道效应,经典力学,能量E(E0的区域,量子力学,(*)式说明粒子的波函数在x0的区域逐渐衰减,但不为零,量子力学中,粒子能穿入势能大于其总能量的区域,隧道效应,四.扫描隧道显微镜(STM),原理： 利用电子的隧道效应。,金属样品外表面有一层电子云，电子云的密度随着与表面距离的增大呈指数形式衰减，将原子线度的极细的金属探针靠近样品，并在它们之间加上微小的电压，其间就存在隧道电流，隧道电流对针尖与表面的距离及其敏感，如果控制隧道电流保持恒定，针尖的在垂直于样品方向的变化，就反映出样品表面情况。,48个Fe原子形成 “量子围栏”， 围栏中的电子形成驻波。,STM的横向分辨率已达 ，纵向分辨达 , STM的出现，使人类第一次能够适时地观察单个原子 在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质。,扫描隧道显微镜,25.6 谐 振 子(物理模型）,分子和固体中原子的振动,势能函数,一维谐振子的定态薛定锷方程,谐振子的定态能量,能量量子化 等间距,能级的间距,最低能量(零点能),n=0,1,2,一维谐振子的能级,谐振子,例题: 试求振动频率为300HZ的一维谐振子的零点能和能级间隔.,基态能(零点能),能级间隔,分析:,例题: 原子处于某激发态的寿命为t,向基态跃迁时发射波长为的光谱线,那么测量波长的精度/ 为多少?,分析:,例题: 氦氖激光器所发出的红光波长为=632.8nm,谱线宽度= . 试求该光子沿运动方向的位置不确定度.,分析:,