,2.1 二次函数,第二章 二次函数,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点） 2.会利用二次函数的概念解决问题. 3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）,导入新课,情景引入,里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？,你们是根据哪些特征猜出的呢？,下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.,通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？,“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.” -中科院数学与系统科学研究院 李邦河,问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？,如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y总有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数.,函 数,一次函数,反比例函数,y=kx+b (k0),(正比例函数) y=kx (k0),问题2 我们学过哪些函数？,思考 一个边长为x的正方形的面积y为多少？y是x的函数吗？是我们学过的函数吗？,y=x2，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.这个函数不是我们学过的函数.,思考：这种函数叫什么？这节课我们一起来学习吧.,问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.,(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？,讲授新课,合作探究,(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？,(3)如果要使得果园橙子的总产量为60320个,那么应该增种多少棵橙子树？,(4)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.,果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子,y=(100+x)(600-5x) =-5x+100x+60000.,(100+x)(600-5x)=60320 解得，,对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.,问题2 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 .,y=6x2,此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.,问题3 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.你能列出矩形水面的面积关于矩形水面的边长的关系式吗？,设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2，则有,此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.,前面求出的三个函数有什么共同点?,函数都是用 自变量的二次整式表示的,y=6x2,y=-5x+100x+60000.,二次函数的定义：,一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的形式，则称y是x的二次函数.,归纳总结,a为二次项系数，ax2叫做二次项； b为一次项系数，bx叫做一次项； c为常数项.,温馨提示：,（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；,例1 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是二次函数？,解：,（1）由题可知,解得,（2）由题可知,解得,m=3.,第（2）问易忽略二次项系数a0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.,典例精析,1.下列函数中,哪些是二次函数?,先化简后判断,是,不是,是,不是,2.把下列函数化成一元二次函数的一般式.,(1)y=(x-2)(x-3); (2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2; (3)y=-2(x+3)2.,解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6; (2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6; (3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18.,问题4：上述问题中的三个函数的自变量的取值范 围是什么？, y=(100+x)(600-5x)=-5x+100x+60000., y=6x2,600-5x0，x0，0x0. 20-x0，0x20.,归纳总结,二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.,列二次函数关系式,三,例3一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形剩余部分的面积为ycm2.写出y与x之间的函数关系式，并指出y是 x的什么函数？,解：由题意得y1222x(x+1)， 又x+12x12，1x6， 即y2x22x144(1x6)， y是x的二次函数.,分析：本题中的数量关系是： 剩余面积=正方形面积-长方形面积.,当堂练习,2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m,n是常数,且m0 B . m,n是常数,且n0 C. m,n是常数,且mn D . m,n为任何实数,C,1.把y=(2-3x)(6+x)变成y=ax+bx+c的形式，二次项为 _,一次项系数为_，常数项为 .,3下列函数是二次函数的是 ( ) Ay2x1 B Cy3x21 D,C,-3x2,-16,12,4. 已知函数 y=3x2m-15 当m=时，y是关于x的一次函数； 当m=时，y是关于x的二次函数 .,1,5.（1） n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？,（2）假设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是10（万元）,那么请你写出两年后的本息和y(万元)的表达式(不考虑利息税).,y=10(x+1)=10x+20x+10.,6.矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2.求 （1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时矩形的面积.,解：(1)y(8x)xx28x (0x8)；,(2)当x3时，y328315 (cm2 ).,课堂小结,二次函数,定 义,y=ax2+bx+c(a 0，a,b,c是常数),一般形式,右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a 0.,特殊形式,y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a 0，a,b,c是常数).,