第2章 简单随机抽样（SRS）,2.1 定义及其抽选方法 2.2 简单估计量及其性质 2.3 样本量的确定 2.4 设计效应 2.5 逆抽样,2.1定义与符号,简单随机抽样也称为纯随机抽样。 从含有 N 个单元的总体中抽取 n 个单元组成样本，如果抽样是不放回的，则所有可能的样本有 个，若每个样本被抽中的概率相同，都为 ，这种抽样方法就是简单随机抽样。 具体抽样时，通常是逐个抽取样本单元，直到抽满n个单元为止。,有限,放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样,放回简单随机抽样(SRS with replacement) 当从总体N个抽样单元中抽取n个抽样单元时，如果依次抽取单元时，不管以前是否被抽中过，每次都从N个抽样单元中随机抽取，这时，所有可能的样本为 ? 个(考虑样本单元的顺序), 每个样本被抽中的概率为? 放回简单随机抽样在每次抽取样本单元时，都将前一次抽取的样本单元放回总体，因此，总体的结构不变，抽样是相互独立进行的，这一点是它与不放回简单随机抽样的主要不同之处。 放回简单随机抽样的样本量不受总体大小的限制，可以是任意的。,简单随机抽样的抽取原则： （1）按随机原则取样； （2）每个抽样单元被抽中的概率都是已知的或事先确定的； （3）每个抽样单元被抽中的概率都是相等的。,所有可能样本每个样本被抽中的概率相同,所有可能样本每个样本被抽中的概率相同,【例2.1】,设总体有5个单元（1、2、3、4、5），按放回简单随机抽样的方式抽取2个单元，则所有可能的样本为25个（考虑样本单元的顺序）：,(2)不放回简单随机抽样 (SRS without replacement),当从总体N个抽样单元中依次抽取n个抽样单元时，每个被抽中的单元不再放回总体，而是从总体剩下的单元中进行抽样。 不放回简单随机抽样的样本量要受总体大小的限制。 在实际工作中，更多的采用不放回简单随机抽样。,【例2.2】,设总体有5个单元（1、2、3、4、5），按不放回简单随机抽样的方式抽取2个单元，则所有可能的样本为个：,符号,大写符号表示总体的标志值， 用小写符号表示样本的标志值,总体指标值上面带符号“”的表示由样本得到的总体指标的估计。 称 为抽样比，记为f 。 估计量的方差用大写的V表示,对 的样本估计，不用 而用 表示。,二、抽选方法,1抽签法 2随机数法随机数表、随机数骰子、摇奖机、计算机产生的伪随机数 随机数表法： N=327 n5 讨论： (1) 总体编号为135，在0099中产生随机数，若=00或35，则抛弃重抽。 (2) 总体编号为135，在0099中产生随机数，以除以35，余数作为被抽中的数，如果余数为0，则被抽中的数为35。,三、地位与作用,优点 简单直观 理论基础 缺点 N很大时难以获得抽样框 样本分散不易实施，调查费用高 很少单独使用，一般结合其他方法使用 没有其他信息时使用 多变量复杂数据分析,2.2 简单估计量及其性质,判断下面要估计的总体目标量分别属于什么类型？ 调查城市居民家庭平均用电量。 估计湖中鱼的数量。 测试日光灯的寿命。 估计居民家庭用于做饭菜及饮用的用水量占家庭总用水量的比重。 估计婴儿出生性别比。 检测食盐中碘含量。,一、对总体均值的估计,以样本均值作为总体均值的估计 性质1：对于简单随机抽样， 是 的无偏估计。,例设总体为0，1，3，5，6，计算总体均值 =3、总体方差 =5.2和 =6.5；给出全部 的样本，并验证 及 。,样本编号,单元1,单元2,样本均值,-,样本方差,证明 性质1,对于固定的有限总体，估计量的期望是对所有可能样本求平均得到的，因此 总体中每个特定的单元 在不同的样本中出现的次数。,证明 性质1（对称性论证法）,由于每个单元出现在总体所有可能样本中的次数相同，因此 一定是 的倍数，且这个倍数就是 ，,性质2：,对于有限总体的方差定义 ： 性质2：对于简单随机抽样， 的方差 式中： 为抽样比， 为有限总体校正系数。,证明性质2（对称论证法）：,中的求和是对 项的， 中的求和是对 项的,每个特定单位被选入样本的概率： =P（i）= 故其定义为： * 不放回抽样 * 每个样本被抽中的概率为 * 每个单位被选入样本的概率,利用无限总体理论,Mean =,随机变量,证明性质2,简单随机抽样下，简单估计量估计精度影响因素：,估计量的方差 是衡量估计量精度的度量。影响估计量方差的因素主要是样本量n，总体大小N和总体方差 。 通常N很大，当f0.05时，可将 近似取为1。 总体方差是我们无法改变的； 因此，在简单随机抽样的条件下，只有通过加大样本量来提高估计量的精度。,性质3： 的样本无偏估计为：,证明 :,大样本下，抽样调查估计量渐进正态,【例2.3】,我们从某个=100的总体中抽出一个大小为=10的简单随机样本，要估计总体平均水平并给出置信度为95%的区间估计。,由置信度95%对应的 ，因此，可以以95%的把握说总体平均水平大约在 之间，即2.4295和7.5705之间。,有放回简单随机抽样,二、对总体总量的估计,【例2.4】续例2.3。估计总体总量，并给出在置信度95%的条件下，估计的极限相对误差。,在置信度95%下， 的极限相对误差为：,三、对总体比例的估计,某一类特征的单元占总体单元数中的比例P. 将总体单元按是否具有这种特征划分为两类，设总体中有个单元具有A这个特征，如果对每个单元都定义指标值,总体方差：,估计量,性质5：对于简单随机抽样， 是 P 的无偏估计。 的方差为：,证明,【例2.5】,某超市新开张一段时间之后，为改进销售服务环境，欲调查附近几个小区居民到该超市购物的满意度，该超市与附近几个小区的居委会取得联系，在总体中按简单随机抽样抽取了一个大小为=200人的样本，调查发现对该超市购物环境表示满意或基本满意的居民有130位，要估计对该超市购物环境持肯定态度居民的比例，并在置信度95%下，给出估计的近似置信区间、极限绝对误差。假定这时的抽样比可以忽略。,95%近似置信区间为 58.37%，71.63% ,2.3 比率估计量及其性质,2.3.1 比率估计量的性质 2.3.2 比率估计量的方差估计 2.3.3 比率估计的其他问题,辅助指标x，其总体均值（总量）已知,三、比率估计的效率,1.与简单估计的比较 简单估计量无偏，而比率估计量渐近无偏。 因此这里只比较当比较大的情形。 比率估计量优于简单估计量的条件是：,正高度相关,【例2】某县在对船舶调查月完成的货运量进行调查时，对运管部门登记的船舶台帐进行整理后获得注册船舶2860艘，载重吨位154626吨，从2860艘船舶中抽取了一个的简单随机样本，调查得到样本船舶调查月完成的货运量及其载重吨位如下表（单位：吨），要推算该县船舶调查月完成的货运量。,该县船舶在调查月完成货运量的比率估计为 用简单估计对货运量进行估计,实际中对于样本量较小的情形， 使用比率估计量时不能忽视其偏倚。,2.4 回归估计量及其性质,2.4.1 回归估计的性质 2.4.2 多变量回归估计 2.4.3 各种估计量的精度比较,2.5 简单随机抽样的实施 2.5.1 样本量的确定,费用 总费用 固定费用 可变费用,设计费 分析费 办公费 管理费 场租费 等,访问员费 交通费 礼品费 电话费 等,STEPS,所需要的精度 找出样本量与精度之间的关系 估计所需的数值，求解 n 如超出预算，调整精度值重新计算,精度margin of error,对精度的要求通常以允许最大绝对误差（绝对误差限）或允许最大相对误差（ 相对误差限）来表示。,样本量足够大时，可用正态分布近似,变异系数,Sample Size n0为重复抽样条件下的样本量,当N很大时， 0， n n0，wr与wor几乎没有区别。,总体参数为P的情形,f0.05,总体方差的估计,根据预调查数据或以前文献资料 根据数据的分布粗略估算S,例如全距/4，全距/ 6 对于比例估计，如果P在0.5附近（），可根据PQ在P=0.5时达到极大值来对样本量进行计算 .,如果时间允许，且总体在时间上变化不快，调查可以分为两步，首先确定一个可以承受的样本量，调查后对估计精度进行计算，如果精度达到要求，则不再进行下一步，否则，计算为达到精度要求所需的样本量，再调查补充样本 通过定性分析 ,最好是对总体变异系数进行分析并估计，因为变异系数通常变化不大.,样本量设计中的误区 1. 估计精度越高越好吗？ 简单随机抽样估计比例P的样本量与误差（当P=0.5时） 样本量 误差d 50 0.14 100 0.10 500 0.045 1000 0.032 10000 0.0098 对精度要求的判断十分重要。为得到最小误差而选择最 大样本量不是好的选择。,2. 样本量与总体规模N有关吗？按照总体比例确定样本量合适吗？ 例：简单随机抽样估计P，置信度95%，允许误差5%，在P=0.5条件下 总体规模（N） 所需样本量（n） 50 44 100 80 500 222 1000 286 5000 370 10000 385 100000 398 1000000 400 10000000 400,抽样调查中的样本量,由此可知，在精度要求相同条件下，在北 京市进行一项调查和在全国进行一项调查，样 本量的差别并不大。 总体规模越大，进行抽样调查的效率越高。 若分类、分区、分层分别进行估计，如何处理？ 对于多项目，如何处理？,其他影响因素,1. 所研究问题目标量的个数 2. 调查表的回收率 例如回收率估计为80%，则应接触的样本量为计算出所需样本量的1.25倍； 3.非抽样误差 4.资源限制 5.有效样本 etc,定义：简单随机抽样的样本估计量的方差与复杂抽样的样本估 计 量的方差的比率。 Deff Var（ ）为复杂样本估计量的方差。,2.4 设计效果(Design effect, Deff),设计效应,基什（L. Kish）提出 比较不同抽样方法的效率.,不放回简单随机抽样简单估计量的方差,某个抽样设计在同样样本量条件下估计量的方差。,Deff的作用： （1）评价抽样设计的一个依据, 如果deff1， 则抽样设计比简单随机抽样的效率低。 （2）计算样本量 如多阶段抽样的 Deff大约在22.5之间。 n= n(deff) n为简单随机抽样所需样本量。,放回简单随机抽样的deff为： 常用于复杂抽样样本量的确定；在一定精度条件下，简单随机抽样所需的样本量比较容易得到，复杂抽样的样本量为，,2.5 稀有事件的抽样问题,如果估计的是非常稀有事件的比例，这时总体比例很小，用极限相对误差比极限绝对误差更好些。 对于稀有事件，所需的样本量会很大，例如：,针对稀有事件并无法给出确切范围， 对总体比例事先不同的假定，所导致的样本量差异非常大。 霍丹（Haldane）提出的逆抽样方法: 即事先确定一个整数m（m1），进行逐个抽样，直到抽到m个所考虑特征的单元为止.,设n是实际的样本量，则