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第八章 Weyl 编序算符内的积分技术及其应用算符 Weyl 编序是在 Weyl 对应规则的基础上定义的,Weyl 编序比正规乘积编序复杂。但它在实际应用中有其特殊的作用,因为 Weyl 编序的算符在相似变换下有特殊的性质。本章发展 Weyl 对应规则和 Weyl 编序算符积分技术,首次给出 Wigner 算符和 Husimi 算符的 Weyl 编序形式,为实际的运算带来了很大的方便。 8.1 Weyl 编序算符内的积分技术1前面几章介绍的都是正规乘积内的算符积分技术,在正规乘积记号“ ”内,玻色算:符被看作是普通的数,而使得 NewtonLeibniz 积分可以进行。本章指出在 Weyl 编序下,玻色算符也是可对易的,Weyl 编序是量子化经典函数 的一个方案,即mrqp(8.1.1)01!.2mmr lrllqpQP我们称(8.1.1)式右边是一个 Weyl 编序好了的算符。这里引进“ ”作为 Weyl 编序的记号,于是有(8.1.2)0 0: :1!1!.22mmmlrl mlrll lQPQP 由于 与 在 Weyl 编序内是可交换的,所以有 。它可以由(6.1.7)式Prrqp及(8.1.1)式验证,即 2,mrTpq01!22mipu mlrll udeQPq 1mipur ipuipuruqqdee, r(8.1.3)可见, ,mrmrdpqQP(8.1.4)这也表明Jinchutou.com, , ,hPQdpqhpq(8.1.5)联立(8.1.1)和(8.1.4)得, 01!2mmr mlrll QP(8.1.6)(8.1.6)式说明:若要将一个 Weyl 编序算符的记号去掉,则要根据(8.1.6)式来进行。 8.2 Wigner 算符的 Weyl 编序形式1由(8.1.5)式,我们不难看出,Wigner 算符的 Weyl 编序形式为(8.2.1):, .pqPqQ这是一个重要的算符恒等式,即 Wigner 算符的 Weyl 编序形式是 Dirac -函数。因上式又可写为,22aaiQPi(8.2.2)*:1, .a再令 则 Weyl 对应(8.1.4)式也可表示为*,hpqf(8.2.3)2*:,.fadf如何将一般的算符作 Weyl 编序展开呢?这里用密度算符 的 Weyl 编序展开,来说明一般算符 的 Weyl 编序展开的方法。 密度算符的 P表示为A2.dzz(8.2.4)其逆关系(Mehta 2)(8.2.5) 2 2*exp,zdPez这里 是相干态。根据相干态的投影算符 的 Weyl 对应为Jinchutou.com (8.2.6)*2,2:exp: .Trzzzaz由(8.2.3)得, 的 Weyl 编序展开为 z(8.2.7)2* *:exp: : .dzaa于是相干态的完备性关系也可以纳入到 Weyl 编序的积分范畴来说明,即 (8.2.8)22*: :exp1.dzdzza将(8.2.7)和(8.2.5)代入到(8.2.4)得(8.2.9)2 2*: :eexp2: : xp.zezzada 这就是密度算符的 Weyl 编序公式;对于一般的算符 ,它的 Weyl 编序展开也是A。 2 *exp2dAAa (8.2.10)作为例子,可以计算宇称算符 的 Weyl 编序为N(8.2.11) :1.2a而算符 的 Weyl 编序为expefabg(8.2.12)22*111212*124exp: :exp2: :4.4dfgabgfagfabgff 我们看到,利用前面两节的方法和公式,我们能方便地将一个算符变成它的 Weyl 编序形式。Jinchutou.com 8.3 Husimi 算符的 Weyl 编序形式上节介绍了 Wigner 算符的 Weyl 编序展开形式,那么 Husimi 算符的 Weyl 编序展开是什么呢?用(8.2.10)式及 Husimi 算符的正规乘积展开式( 6.2.1)式,我们就能找到Husimi 算符 的 Weyl 编序形式,即,;,;,;hpqpq(8.3.1)222 *2212 *12,; : :exexp1 :p: 1exQPd aqiiai qaa 2222 :p.: paqQpP 根据 Weyl 对应规则知道 Husimi 算符的经典对应函数可以由 直接从,QqPp(8.3.1)中得到,即(8.3.2)2222: :11expexp,qpP它与 Husimi 算符的原始定义一致,即(8.3.32222:,;,;e1 ,xp,wdqQqpp)下面将计算压缩真空态 的 Husimi 分布函数,这里10S, , 2expa e(8.3.4)为单模压缩算符,且。 211/20secxptanh0Sh(8.3.5) Jinchutou.com在 的作用下,有1S1 1, /.SQSP(8.3.6)所以由 Husimi 算符的 Weyl 编序乘积形式(8.3.1)及 Weyl 编序算符在相似变换下的不变性(见 8.7 节的证明)得(8.3.7)221 1222 2: :1,;exp: :exp /,;h hSqSqQpPSQP 或。 22 212 21,;:exp :1h qSpqSQpP (8.3.8)即我们看到压缩算符可以越过 Weyl 编序的记号“ ”而作用进去。不难发现压缩不仅对 相空间,对参数 也有压缩作用。由(8.3.7)和(6.1.14)式压缩算符 对态 pq S的压缩为,;(8.3.9)2,;,/;.Spq这个式子可以从(6.1.20)式得到验证(注意 是一个压缩相干态) ,即 11/2,;/2qipSpqS。 2,/;(8.3.10)由(8.3.7)和(8.3.8)计算压缩态的 Husimi 分布函数为(8.3.11)1 22220,;0/,;0.1h hSqpSqpex另一方面,考虑到(8.3.10) ,所以Jinchutou.com (8.3.12)1 20,;0, ,/;.hSqpSpq有兴趣的读者可以试着推导 Husimi 算符的反正规乘积形式,关于反正规乘积相关知识读者可以参阅 3。 8.4 纠缠 Husimi 算符的 Weyl 编序展开回想起纠缠形式的 Wigner 算符是4*23,wde, 221121:exp:aa(8.4.1)它的 Weyl 编序展开形式为(8.4.2)* *12121212: :, .waaaa 6.2 节中,由纠缠形式的 Wigner 算符形式,我们导出了纯态投影算符表示的纠缠 Husimi算符形式, ,;,;,;h(8.4.3)这里12,;0SD,2 *1212exp 0aaa(8.4.4)纠缠 Husimi 算符的正规乘积展开形式为(8.4.5)* *121212122,;4:exp :,1haaaa 那么纠缠 Husimi 算符的 Weyl 编序如何得到呢?根据纠缠 Husimi 算符的定义式222 ,;4,exp .h wdJinchutou.com (8.4.6)并结合双模 Wigner 算符的 Weyl 编序展开式(8.4.2)得(8.4.72 * *12121212* *12121212,;: :4 .exp: :4 .hdaaaaaaaa )作为应用,我们可计算双模压缩态 的 Husimi 函数,前面提到:双模压缩算符20S可由纠缠态表象的表象变换得到,即(8.4.8)12 122sectanhtanh/sec:,d这里 的压缩变换为,e2S1 112212221/, ,/.QQSPP (8.4.9)由于相似变换下 Weyl 编序不变,我们看到(8.4.10)122 2222 11111222111,;: :4exp:hSQPQPS 212 :/,;.h 所以双模压缩态的 Husimi 分布函数为(8.4.11)1 222220,;0/,;0exp.1h hSSJinchutou.com 8.5 两个 Weyl 编序算符乘积的 Weyl 编序根据 Wigner 算符的正规乘积形式, *,:exp2:qpa(8.5.1)两个 Wigner 算符乘积的正规乘积形式为(8.5.2)*12 2* *1121122,expexpexp4.aa 由(8.2.10)式,可以导出两个 Wigner 算符乘积的 Weyl 编序(8.5.3)2*1212222* *121 *121212: :,e:exp:4: :exp .d aaaaa 因在 Weyl 编
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