江苏省科学技术奖（2018年度）项目名称：环的clean性、内射性与广义逆理论项目完成人：陈建龙、王周、张小向、 沈亮、姚玲玲项目完成单位：东南大学项目主要工作：解决了clean环领域的若干公开问题，并建立环的clean性与正则性、稳定度之间的深刻联系； 解决了morphic环领域的若干公开问题，揭示了morphic性与其它性质之间的内在关系；分别为多种广义內射性和广义凝聚性建立了统一的研究框架，给出QF环的若干新刻画，在环论中著名的Faith-Menal猜测上取得新进展；引入拟polar环、伪polar环的新概念，建立其与环的正则性、clean性以及广义逆的内在联系；在环的广义Drazin逆、Drazin逆和MP-逆方面取得新进展。项目简介：代数结构是三大重要的数学结构之一，环是一类重要的代数结构，在代数几何、代数拓扑、代数K-理论、代数表示理论、同调代数等多个领域受到广泛的关注。本项目围绕环的内部结构与外部性质，追踪国际前沿热点问题，展开一系列深入的研究，在环的clean性、内射性与环上广义逆等若干基础理论问题上取得重要突破。1. 解决了clean环领域的若干公开问题，并建立环的clean性与正则性、稳定度之间的深刻联系。解决了代数学家Nicholson教授1999年提出的两个公开问题，给出（三角）矩阵环、幂级数环强clean性的等价刻画；引入唯一强clean环的概念，得到其结构定理；给出群环唯一clean性的充分和必要条件；建立平方稳定度、幂等稳定度与正则性、clean性之间联系，细化了Fuchs-Kaplansky (1971)与Camillo-Yu (1994)的结果。2. 解决了morphic环领域的若干公开问题，揭示了morphic性与其它性质之间的内在关系。解决了morphic环正则性、拟morphic环Bezout性两个公开问题；深入研究了几类重要群环的morphic性，给出其具有morphic性的完全刻画；引入广义morphic环的概念，揭示了其与凝聚性、Bezout性之间的内在关系。3. 分别为多种广义內射性和广义凝聚性建立了统一的研究框架，给出QF环的若干新刻画，在环论中著名的Faith-Menal猜测上取得新进展。提出了相对于矩阵的内射性和凝聚性的概念；解决了Dauns (2006)提出了一个关于M-凝聚环的问题；利用多种广义內射性给出QF环的若干新刻画, 改进了前人的一些相应的结果。4. 引入拟polar环、伪polar环的新概念，建立其与环的正则性、clean性以及广义逆的内在联系。利用拟polar环和伪polar环架起了强clean环与强p-正则环之间的桥梁；通过元素拟（伪）polar性与广义（伪）Drazin逆一致性研究，在环与Banach代数的广义（伪）Drazin逆理论方面取得重要进展。5. 在环的广义Drazin逆、Drazin逆和MP-逆方面取得新进展。得到广义Drazin逆的Jacobson引理和Cline公式；发现一定条件下环中元素和的Drazin可逆的充要条件与相应的计算公式；利用中心化子推广了关于元素积的Drazin逆的结论；刻画了投影元积与差的MP可逆性，推广了C*-代数中的有关结果。本项目 8 篇代表性著作含环论专著1本，J. Algebra 2篇，J. Pure Appl. Algebra 1篇，Linear Algebra Appl. 3篇，Comm. Algebra 1篇。第一完成人为东南大学二级教授，博士生导师，享受国务院特殊津贴，曾获教育部高校青年教师奖，江苏省科技进步三等奖，入选江苏省“333工程”、“青蓝工程”、“六大人才”培养对象，获得第四届江苏省青年科技标兵称号。先后主持国家自然科学基金项目5项，教育部博士点基金项目2项，江苏省自然科学基金项目3项。现为国家精品课程负责人，国家精品资源共享课负责人，江苏省高等学校优秀教学团队负责人。第一完成人为项目研究思路的提出者和制定者，对科学发现一、二、四、五均有突出贡献，是代表性论文论著1-3、5-8，主要论文论著1-3、5-20的作者。1）引入唯一强clean环的概念，得到其结构定理；给出群环唯一clean性的充分和必要条件；给出（三角）矩阵环、幂级数环强clean性的等价刻画。2) 解决了morphic环的若干公开问题；深入研究了几类重要群环的morphic性，并给出完全刻画；引入广义morphic环的概念，揭示了其与凝聚性、Bezout性之间的内在关系。3) 引入拟polar环和伪polar环两个新概念；给出（三角）矩阵环是拟polar的充要条件。4) 证明了环上广义Drazin逆的Jacobson引理和Cline公式，是迄今为止环上广义Drazin逆的仅有的两个结果；发现一定条件下环中两个元素和Drazin可逆的充要条件及具体表达式。第二完成人对重要科学发现一、四做出重要贡献，是代表性论文 2、4、5，主要论文 2、4、11、12的作者。1）解决了代数学家Nicholson教授1999年提出的两个公开问题；引入唯一强clean环的概念，得到其结构定理；2) 引入平方稳定度1条件，建立平方稳定度1条件、幂等稳定度1条件与正则性、clean性之间联系；3) 引入伪polar环的概念，架起了强clean环与强p-正则环之间的桥梁；4) 基于伪polar元素与伪Drazin可逆元素的等价性，在环的伪Drazin逆理论方面取得了进展并应用到Banach代数。第三完成人是代表性论文论著1、6，主要论文论著1、6、15、20的作者。1）分别为多种广义內射性和广义凝聚性建立了统一的研究框架；2）解决了解决了Dauns在2006年提出的一个关于M-凝聚环的问题；3）刻画了投影元的差、积、交换子以及反交换子的Moore-Penrose逆，推广了C*-代数中关于Moore-Penrose逆的相应结果。第四完成人是代表性论文7，主要论文7、19的作者。1）给出了QF环极小内射性新的性质刻画；2）给出了QF环单内射性新的性质刻画；3）揭示了small内射性与自内射性新的联系。第五完成人是代表性论文8，主要论文8的作者。1）给出An型丛倾斜代数上无挠模的性质、结构和刻画；2）证明An型丛倾斜代数上无挠模为Groenstein投射模；3）给出An型丛倾斜代数上稳定范畴的Auslander-Reiten结构。论文目录：1 陈建龙，张小向，Coherent Rings and FP-injective Rings（专著）, 科学出版社，2014年12月2 陈建龙，王周，周毅强，Rings in which elements are uniquely the sum of an idempotent and a unit that commute，J. Pure Appl. Algebra，2009年213卷215-2233 陈建龙，杨先德，周毅强，When is the 2 2 matrix ring over a commutative local ring strongly clean？J. Algebra，2006年301卷280-293页4 D. Khurana, T.Y. Lam, 王周（通讯作者）Rings of square stable range one，J. Algebra，2011年338卷122-143页5 王周，陈建龙，Pseudo Drazin inverses in associative rings and Banach algebras， Linear Algebra Appl.，2012年437卷1332-1345页6 张小向，张霜霜，陈建龙，王龙，MoorePenrose invertibility of differences and products of projections in rings with involution，Linear Algebra Appl.，2013年439卷4101-4109页7 沈亮，陈建龙，New characterizations of quasi-Frobenius rings，Comm. Algebra，2006年34卷2157-2165页8 姚玲玲，The torsionless modules over cluster-tilted algebrasof type An，Algebr. and Represent. Theory，2012年437卷1332-1345页