一、 引例,3 函数的极限,通过上面演示实验的观察:,当x无限增大时，,无限接近于0,二. 函数极限,简记为,几何意义,例2. 证明,例3. 证明,三、函数极限的四则运算,定理3.1若,（1）,（这里,为常数）。,（2）,（3）,定理3.2（局部有界性),则,使得,在,上有界。,四、函数极限的性质,若,定理3.3(局部保号性),则,当,时，有,若,推论3.4 设,则,当,若,则,当,时，,有,若,时，,有,定理3.1的证明（见课本55页） 下面证明 定理3.1(iii),定理3.4,，且,在,上有界(局部有界)。,则,若,定理3.5(局部保序性),则,若,有,定理 3.6 (极限不等式),定理3.7（极限唯一性）,定理3.8（夹迫性）,若,当,时,定理3.10 (函数极限与数列极限的关系),注：此定理又称海涅（Heine）定理,定理3.10不仅可以用来证明某些函数的极限存在，还可用它来证明某些函数极限不存在.,例4 证明 不存在.,定理3.11 设 在 点附近 有定义，且 ，而 在 点附近 有定义， 且 ，则,例5. 求极限,五、单侧极限,定义,设 在 有定义 ，如 ，对 使当 时，有,记为,则称 C为 在 的右极限，记为,定理 (左、右极限与极限的关系 ),例6.,定理3.12 若 在 上单调上升有上界， 则 存在,证明：Page 60,推论3.5 （1） 在 上单调上升有下界，则 存在； （2） 在 上单调上升，则对任意 ，有 和 都存在（但不一定相等）,六种趋势下的极限的表示形式：,例9.,例10.,设,是非负整数，则,六、两个重要极限,1、,证明：,2、,证明：,前章我们已经证明了,由夹迫定理有,证毕。,注：,证明：,