复变函数与积分变换研究生复习计算题部分一、 填空题1. 若，则材=（P14，两个复数的商等于它们的模的商；两个复数的商的辐角等于被除数和除数的辐角之差）2. 复数的指数形式是，幅角主值= 。（P46）3. 复数= ，= （计算过程可见第三题）。（P46）4. 设 解析，则， = 。（P41，柯西。黎曼方程）5. 设C为自原点到的直线段，则积分=（用牛顿-莱布尼兹公式）。6. 级数是 条件收敛 （填发散、条件收敛或绝对收敛）。7. =。（请分别用柯西积分公式或留数定理计算）8. 设.，则 是可去奇点（选：可去奇点、极点或本性奇点）， = 0 。9. 函数的奇点是（都是一级极点）10. 是 的 本性奇点 （选：可去奇点、极点或本性奇点），= 1 。11. 函数的幂级数展开式是。12. 拉普拉斯变换的定义是。13. 若, 则 。二、 计算1. 说明函数在一点连续、可导、解析的关系。讨论的连续、可导、解析性。答：函数在一点连续、可导、解析的关系是：解析可导连续，反之不成立。 对，设，则，即 。由于都是连续函数，故在复平面上处处连续。由于。显然可微，但只在处满足柯西-黎曼方程。因此只在处可导，但在复平面上处处不解析。2. 分别求 和 的模、幅角、实部、虚部。解：所以模为 ，幅角4 + 2 k (主值为4 -)，实部、虚部。所以模为 ，幅角 + 2 k (主值为 )，实部 、虚部 。3. 求,解：。其中k = 0时可得相应主值。4. 验证 是调和函数，并求，使函数为解析函数。解：，因此u是调和函数。下面用偏积分法求v：由，得到；再由，得，所以当时，为解析函数。三、 求下列积分1. ，其中C是从0到的直线段。解：由于z e z 是解析函数，用分部积分法可得2. 其中C是从0到的直线段解：由于被积函数不解析，本题只能沿曲线来计算积分。直线段的参数方程为 z =(2 + i)t ( t从0到1),d z =(2 + i)d t。所以得到3. 设，求（6分）解：所以 进而得 4. 求积分,为不通过的闭曲线.解：当a不在C内时，由柯西-古萨基本定理，得 当a在C内时，由高阶导数公式，得 。5. 解：的一级极点有z = 0.5+k，其中在C内。且由法则可求得在各极点处的留数为。故由留数定理得同理； 四. 函数的展开式1. 求在内的罗朗展开。2. 在内的罗朗展开。3. 将函数 展成 z 的罗朗级数，并指出收敛范围。解：1. 对，因为在内有 ，故在 内有 2. 对，在内时3. 四、 积分变换部分1. 求拉氏变换，。解：2. 求下列函数的拉氏逆变换 , 解: 证明题部分1. 应用棣莫弗公式证明 2. 证明：如果函数在区域D内解析，且在D内是一个常数， 那么是常数。3. 证明4. 证明如果级数在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛，则它在收敛圆所围成的闭区域上绝对收敛。综合题部分1. 写出指数函数，对数函数，幂函数，正弦函数，余弦函数的表达式，并指出它们的特性，例如，解析性（导数是什么），周期性，是否有界等。2. 设函数在处分别有m级及n级零点,试问在处具有什么性质(解析？零点？可去奇点？极点？本性奇点？), 并根据m, n的不同情况求出它们的留数(其中m,n为非负整数)3. 描述什么是洛朗级数与泰勒级数，并说出它们的区别与关系是什么。（请就知道的尽量回答完整）4. 试说明柯西定理，柯西积分公式，高阶导数公式是留数定理的特殊情况。