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学生姓名 年级 高三 授课时间 教师姓名 刘 课时 02-圆锥曲线压轴题-分类训练【知识点】1. 直线方程的形式(1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2)与直线相关的重要内容倾斜角与斜率点到直线的距离 夹角公式:(3)弦长公式直线上两点间的距离: 或(4)两条直线的位置关系=-1 2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程: 距离式方程: 参数方程:(2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程: 距离式方程:(3)抛物线(4)、三种圆锥曲线的通径你记得吗? 3.方法(1)点差法(中点弦问题)设、,为椭圆的弦中点则有,;两式相减得=(2)联立消元法:设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用判别式,以及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点,将这两点代入曲线方程得到两个式子,然后-,整体消元,若有两个字母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点,则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为,就意味着k存在。【课堂练习】题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线与椭圆始终有交点,求的取值范围解:根据直线的方程可知,直线恒过定点(0,1),椭圆过动点,如果直线和椭圆始终有交点,则,即。题型二:弦的垂直平分线问题。注:垂直(两直线的斜率之积为-1)和平分(中点坐标公式)。例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N :交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(,0),使得是等边三角形,若存在,求出;若不存在,请说明理由。解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。设直线,。由消y整理,得 由直线和抛物线交于两点,得即 由韦达定理,得:。则线段AB的中点为。线段的垂直平分线方程为: , 令y=0,得,则为正三角形,到直线AB的距离d为。 解得满足式 此时。例题3、已知椭圆的左焦点为F,O为坐标原点。 ()求过点O、F,并且与相切的圆的方程;()设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围。 解:(I) a2=2,b2=1,c=1,F(-1,0),l:x=-2. 圆过点O、F,圆心M在直线x=-设M(-),则圆半径:r=|(-)-(-2)|= 由|OM|=r,得,解得t=,所求圆的方程为(x+)2+(y)2=.(II)由题意可知,直线AB的斜率存在,且不等于0,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k0),代入+y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0直线AB过椭圆的左焦点F, 方程一定有两个不等实根,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),则x1+x1=-AB垂直平分线NG的方程为令y=0,得点G横坐标的取值范围为()。题型三:动弦过定点的问题例题4、已知椭圆C:的离心率为,且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。(I)求椭圆的方程; (II)若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论。解:(I)由已知椭圆C的离心率,,则得。从而椭圆的方程为(II)设,直线的斜率为,则直线的方程为,由消y整理得是方程的两个根, 则,即点M的坐标为,同理,设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为 ,直线MN的方程为:,令y=0,得,将点M、N的坐标代入,化简后得:又,椭圆的焦点为 ,即 故当时,MN过椭圆的焦点。例题5、(07山东理)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3;最小值为1; ()求椭圆C的标准方程;()若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证:直线过定点,并求出该定点的坐标。解(I)由题意设椭圆的标准方程为, (II)设,由得:,(注意:这一步是同类坐标变换)(注意:这一步叫同点纵、横坐标间的变换)以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且,解得,且满足当时,直线过定点与已知矛盾;当时,直线过定点, 综上可知,直线过定点,定点坐标为题型四:过已知曲线上定点的弦的问题。直线的方程和曲线联立,转化为一元二次方程(或类一元二次方程),考察判断式后,韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标,进而解决问题。例题6、已知点A、B、C是椭圆E: 上的三点,其中点A是椭圆的右顶点,直线BC过椭圆的中心O,且,如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程;(II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线对称,求直线PQ的斜率。 解:(I) ,且BC过椭圆的中心O , 又 点C的坐标为。A是椭圆的右顶点, ,则椭圆方程为:将点C代入方程,得,椭圆E的方程为(II) 直线PC与直线QC关于直线对称,设直线PC的斜率为,则直线QC的斜率为,从而直线PC的方程为:,即,由消y,整理得:是方程的一个根, 即 同理可得: 则直线PQ的斜率为定值。题型五:共线向量问题。解析几何中的向量共线,就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题,再通过韦达定理-同类坐标变换,将问题解决。例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M:+=1 于P、Q两点,且,求实数的取值范围。解:设P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 得(x1,y1-3)=(x2,y2-3) 即方法一:方程组消元法又P、Q是椭圆+=1上的点 消去x2,可得 即y2=又在椭圆上,2y22, 22 解之得:则实数的取值范围是。方法二:判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为:,由消y整理后,得P、Q是曲线M上的两点 即 由韦达定理得: 即 由得,代入,整理得 , 解之得当直线PQ的斜率不存在,即时,易知或 。 总之实数的取值范围是。例题8:已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率为(1)求椭圆C的标准方程; (2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于M点,若,求的值 解法一:()设点,则,由得:,化简得.()设直线的方程为: .设,又,联立方程组,消去得:,故由,得:,整理得:,解法二:()由得:, , 所以点的轨迹是抛物线,由题意,轨迹的方程为:.()由已知,得. 则:.过点分别作准线的垂线,垂足分别为,则有: .由得:,即.题型六:面积问题例题9、(07陕西理)已知椭圆C:(ab0)的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。()求椭圆C的方程;()设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求AOB面积的最大值。解:()设椭圆的半焦距为,依题意 ,所求椭圆方程为。()设,。 (1)当轴时,。(2)当与轴不垂直时,设直线的方程为。由已知,得。把代入椭圆方程,整理得,。当且仅当,即时等号成立。当时, 综上所述。当最大时,面积取最大值。练习1、(07浙江理)如图,直线与椭圆交于A、B两点,记的面积为。 ()求在,的条件下,的最大值;()当时,求直线AB的方程。解:()解:设点A的坐标为,点的坐标为,由,解得,所以 当且仅当时,取到最在值1,()解:由得 设到的距离为,则又因为 所以代入式并整理,得 解得,代入式检验,。故直线的方程是题型七:弦或弦长为定值问题例题10、(07湖北理科)在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p0)相交于A、B两点。 ()若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求ANB面积的最小值;()是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由。(此题不要求在答题卡上画图)解法1:()依题意,点N的坐标为N(0,-p),可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0. 由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是 .()假设满足条件的直线l存在,其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q,PQ的中点为H,则.= =令,得为定值,故满足条件的直线l存在,其方程为,即抛物线的通径所在的直线.题型八:角度问题例题11、(08陕西理)已知抛物线:,直线交于两点,是线段的中点,过作轴的垂线交于点()证明:抛物线在点处的切线与平行;()是否存在实数使,若存在,求的值;若不存在,说明理由解法一:()如图,设,把代入得,由韦达定理得, , 点的坐标为设抛物线在点处的切线的方程为,将代入上式得, 直线与抛物线相切, 即()假设存在实数,使,则,又是的中点,由()知:轴,又 xAy112MNBO,解得 即存在,使问题九:四点共线问题例题12、(08安徽理)设椭圆过点,且着焦点为()求椭圆的方
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