函数奇偶性与单调性的综合应用 专题【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己！】教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性.教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质.【复习旧识】1. 函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？2. 函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？3. 奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？【新课讲解】一、常考题型1. 根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小；2. 当题目中出现“0（或0）”或“0（或0）”时，往往还是考察单调性；3. 证明或判断某一函数的单调性；4. 证明或判断某一函数的奇偶性；5. 根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“0（或0）”时的取值范围）；6. 确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值范围.二、常用解题方法1. 画简图（草图），利用数形结合；2. 运用奇偶性进行自变量正负之间的转化；3. 证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论.三、误区1. 函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关；2. 判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称；3. 奇函数若在“”处有定义，必有“”；4. 函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异；5. 运用单调性解不等式时，应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制.四、函数单调性证明的步骤：（1） 根据题意在区间上设 ；（2） 比较大小 ；（3） 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤：（1）考察函数的定义域 ；（2）计算 的解析式，并考察其与 的解析式的关系；（3）下结论 .【典型例题】例1 设是定义在(，)上的偶函数，且它在0，)上单调递增，若，则，的大小关系是()ABCD【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质.【解析】因为loglog22， 0loglog1，所以loglog2.因为f(x)在0，)上单调递增，所以f(log)f(log)f(1)，那么x的取值范围是()A(，1) B(0，)(1，)C(，10) D(0,1)(10，)3.下列函数中既是奇函数，又在定义域上是增函数的是()Ay3x1 Bf(x)Cy1 Df(x)x34.如图是偶函数yf(x)的局部图像，根据图像所给信息，下列结论正确的是()Af(1)f(2)0 Bf(1)f(2)0Cf(1)f(2)0 Df(1)f(2)b0，给出下列不等式：f(b)f(a)g(a)g(b)；f(b)f(a)g(b)g(a)；f(a)f(b)f(3)f(2) Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2) Df()f(2)0，则一定正确的是()Af(3)f(5) Bf(5)f(3)Cf(5)f(3) Df(3)f(5)8定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，若f(a)f(b)，则一定可得()AabC|a|b| D0ab09.若偶函数f(x)在(，0)内单调递减，则不等式f(1)f(lgx)的解集是()A(0,10) B.C. D.(10，)二、选择题10.若奇函数f(x)在区间3,7上是增函数，在区间3,6上的最大值为8，最小值为1，则2f(6)f(3)的值为_.11若函数f(x)是R上的偶函数，且在0，)上是减函数，则满足f()f(a)的实数a的取值范围是_三、解答题12.已知函数f(x)x22|x|1，3x3.(1)证明：f(x)是偶函数；(2)指出函数f(x)的单调区间；(3)求函数的值域13.定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上是减函数，若f(1m)0的解集；(2)已知偶函数f(x)(xR)，当x0时，f(x)x(5x)1，求f(x)在R上的解析式16.(本小题满分12分)设函数yf(x)的定义域为R，并且满足f(xy)f(x)f(y)，f1，当x0时，f(x)0.(1)求f(0)的值；(2)判断函数的奇偶性；(3)如果f(x)f(2x)b0，f(a)f(b)，g(a)g(b)f(b)f(a)f(b)f(a)g(b)g(a)g(a)g(b)g(a)g(b)，成立又g(b)g(a)g(b)g(a)，成立10.答案1511.答案(，)解析若a0，f(x)在0，)上是减函数，且f()f(a)，得a.若a0，f()f(), 则由f(x)在0，)上是减函数，得知f(x)在(，0上是增函数由于f()，即a0.由上述两种情况知a(，)12.解析(1)略(2)f(x)的单调区间为3，1，1,0，0,1，1,3(3)f(x)的值域为2,213.解析f(x)为偶函数，f(1m)f(m)可化为f(|1m|)|m|，两边平方，得m0，即f(4x5)f(0)，又f(x)为增函数，4x50，x.即不等式f(4x5)0的解集为.(2)当x0，f(x)x(5x)1，又f(x)f(x)，f(x)x(5x)1.f(x)16.解(1)令xy0，则f(0)f(0)，f(0)0.(2)令yx，得f(0)f(x)f(x)0，f(x)f(x)，故函数f(x)是R上的奇函数(3)任取x1，x2R，x10.f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)0，f(x1)f(x2)故f(x)是R上的增函数f1，ffff2.f(x)f(2x)fx(2x)f(2x2)f.又由yf(x)是定义在R上的增函数，得2x2，解之得x.故x.