讲 授 内 容备 注第三十讲二、多元函数连续性1连续性的证明例8设及分别在区间上连续定义试用方法证明：在内连续证及分别在上连续，使得于是，记，于是，则当时，恒有补充命题：在处不连续的充要条件是：及点列，虽然，但例9 设在闭立方体上连续试证：在正方形上连续证（用反证法）假设在某点处不连续，则及点列，使得(1)在上连续，必在上一致连续对，当时，恒有特别当时，有即固定，让在上变化，取最大值，可得即时，对，当时，有从而有与(1)式矛盾2连续与按单变量连续的关系函数连续必按单变量连续反之，按各单变量连续不一定连续在补充某种条件之后，才能保证连续例10 若分别是单变量及的连续函数，对其中一个变量是单调的，则是二元连续函数证设分别是单变量及的连续函数，且关于单调增加设是定义域内的任意一点关于连续，所以，当时，有 (1)对于点及，由于关于连续，从而在连续对上述，当时，有 (2)令则在的方形邻域上，关于单调增加所以在方形邻域上，有即于是在点连续由的任意性知，连续例11 设所论区域上的函数分别对，连续试证：在下列条件之一满足时，连续1) 对连续，关于一致；（即，当时，对一切，恒有）2) 对连续，关于一致；3)特别，若对其中一个变量满足条件；（如对满足条件，即，使得，有）4) 设所考虑的范围是某个有界闭区域，而在包含的某个区域上有意义，且在上对变量或满足局部条件（如对满足局部条件，即邻域及，使得，有）证 1) 设对连续，关于一致（与无关）当时，对一切，恒有又在处，对连续，于是对上述，当时，有取，则当时，有由的任意性，这就证明了的连续性2)类似1)3)可从条件导出1)或2)4)可从条件4) 导出条件1)（用有限覆盖定理）例12在凸域上，有界则函数在上连续证，由于是凸域，则点，至少有一个在内不妨设在内，于是有已知所以在（或），（或）上可导，由中值定理介于之间介于之间于是，当时，有则在处连续由的任意性，在凸域上连续注：由上题的证明过程可看出，满足题目的条件，可推出在凸域上一致连续3学时补充二元函数连续的定义7