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l 说明:第一个阶段到上一章结束,以解决线性方程组问题为标志;现在开始第二个阶段,跨上一个台阶,以解决二次型(ch.7)为结束。第九讲 向 量 空 间教学目的:1. 介绍向量空间的狭义概念、向量空间的线性结构、线性子空间;希望对空间有一个整体的概念。1. 介绍空间的基本度量及正交基;可讲得粗一些,不纠缠于正交化计算。教学内容: 第五章 向量空间: 5.1、 5.2。教案提纲:第五章 向 量 空 间 5.1 向量空间一、向量空间的狭义定义:定义5.1(向量组对于线性运算的完备性);定义5.1 设为的一个非空子集,如果满足:(1)对加法运算是封闭的,即中任意两个向量的和仍在中;(2)对数乘运算是封闭的,即中任意向量与任一实数的乘积仍在中;就称关于向量的线性运算构成(实数域上的)向量空间。l 向量集合对加法和数乘运算封闭常常称它满足完备性,又由第三章定义3.2知道向量的线性运算必满足规范性的八条性质,因此,向量空间具有完备性与规范性。l 容易验证以前所提及的向量集、和本身都是典型的向量空间。l P.112,例5.15.3。二、向量空间的线性结构:1. 基与维数:定义5.2(即最大无关组和秩,升级而已);定义5.2 设是一个向量空间,是中的一组向量,如果满足:(1) 线性无关;(2) 中的向量都可以由线性表示;则称是的一个基,称为的维数,记作,称是维向量空间。2. 向量在某个基之下的坐标:定义5.3(即表示系数)。定义5.3 设是一个向量空间,是的一个基,若可由这个基表示为: ( 或) (5.1)则称表示系数为在基下的坐标。l 参见;“向量组的结构”。l P.114,例5.7(对上述的例5.1和5.3,给出基和维数)。例5.3中,也构成向量空间,这实际上就是齐次方程的解空间,可取它的基础解系,作为基,因此,对任意向量,令其坐标为,于是有方程,容易解出,这便是所求的坐标。三、子空间:1. 子空间:定义5.4 设是向量空间的一个子集, 如果关于中的线性运算,也能构成向量空间,则称是的一个子空间。l 作为子集,显然有,因此。l 的任一个基必含于的某一个基之中,因而总可以扩展为的一个基。(讨论:与母空间的关系:运算一致、基包含、维数等)2.生成子空间:完整显示向量空间的结构,“以有限的形式把握一个无限的对象”。例5.8 设、, 、的所有实系数线性组合的集合记作,试证:关于中的线性运算构成向量空间。证 ,记 ,则 ,且 ,故 。因此,关于中的线性运算构成向量空间。注意到是的子集,称此空间为由、所生成的子空间(或称为、的生成子空间),记作;、称为它的生成元。生成空间的概念是一个重要的概念。事实上任何向量空间都可以表达为它的任一个基的生成空间。(例:齐次方程组的解空间,例5.9等)例5.9 设齐次方程组,记它的解集为。证明关于向量通常的线性运算构成向量空间。证 ,有、,则有 ;,亦有 ,于是是完备的,关于向量通常的线性运算构成向量空间。称为齐次方程组的解空间。若,则的维数为(见第四章定理4.19),基础解系就是的一个基,通解就是空间的生成形式,则解空间也可以写作基础解系的生成空间的形式:,它是的一个维子空间。特别地,若,则只有唯一零解,没有基,即没有基础解系,故,是的一个零维子空间。l 可讨论生成子空间的生成元与基之间、空间的维数与向量组的秩之间的关系;以及定理5.1:等价的向量组生成同一个子空间。)例5.10 求。 5.2 向量空间的内积与正交性一、内积与基本度量:1. 内积:定义5.5;运算律(内积公理):定理5.2;2. 范数:定义5.6;运算律(范数公理):定理5.3(可不证);定义5.5 ,,定义它们的内积为。 (5.5)或(5.6)定理5.2 向量的内积满足以下运算律:(1) 交换律:;(2) 对加法的分配律:;(3) 对数因子的结合律:;(4) 非负性:,且当且仅当。这四条运算律又称为内积公理,由定义可直接加以验证。定义5.6 ,定义的范数为:。 (5.7)从几何上说,范数相当于低维空间中向量的模或“长度”。定理5.3 范数有下列性质(也称为范数公理):(1)非负性:,且当且仅当;(2)齐次性:;(3)柯西许瓦兹不等式: ;(4)三角不等式:。 l 单位向量与向量单位化(简介)。l “单位化”;l 例5.11和例5.12,自己看。 3. 距离: 定义5.7 空间中的两个点之间的距离定义为。记点、 , X P相应的向量表为、,于是 O ),因此 Y Q3. 夹角:从余弦定理引入 定义5.8 定义非零向量的夹角为:()l 说明:内积的几个背景;投影、力做功。二、正交性与正交基:1. 正交的概念:定义5.9;定义5.9 非零向量,当且仅当内积时,称与正交,记作。特别地,认为零向量与任何向量正交。2. 正交基:(1)正交组(规范正交组):定义5.10 设为一组非零向量,若满足关系 , (5.8)即这组向量两两彼此正交,则称 是中的一个正交向量组。进一步,若它们同时又都是单位向量,即满足关系: , (5.9)则称 是中的一个正交规范向量组(或标准正交向量组)。 (2)正交向量组必是线性无关组。:定理5.4(板书证明); *(3)Schmidt正交化:介绍推理思路,用简单的例子演示(可略);l 例5.16要讲。例5.16 已知,求,使 为正交组。解法一 要与正交,应满足方程,即,解得基础解系、,将它们正交化得: , ,即为所求。 (4)正交基(规范正交基):定义5.11。作业:p.126:2、4、5、6、9。
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