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直线和抛物线 的位置关系,一、直线和抛物线的位置关系,方程组两组解,相交,方程组没有解,相离,方程组一组解,相切,若消元得到一次方程, 直线和抛物线的对称轴平行或重合, 为相交关系.,若消元得到二次方程,则,思考:只有一个交点一定是相切吗?,判断直线与抛物线位置关系的操作程序,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的 对称轴平行或重合,相交(一个交点),计 算 判 别 式,例1 求过定点P(0,1)且与抛物线 只有一个公共点的直线的方程.,综上所述,所求直线方程是 x=0 或 y=1 或,练习: 当k为何值时,直线y= k x+1与抛物线,(1)相交,(2)相切,(3)相离?,解:由方程组,消去 y ,并整理得,当K 0时,该方程是一元二次方程,所以,综上所述,当k1时直线和抛物线相交且k=0时交于一点;,当k=1时,直线和抛物线相切;当k1时直线和抛物线相离.,当 k=0 时 , 直线方程为y=1,与抛物线交于一点,例2: 在抛物线 上求一点,使它到直线2x-y-4=0的距离最小.,解:设P(x,y)为抛物线 上任意一点,则P到直线2x-y-4=0的距离,此时 y=1,所求点的坐标为P(1,1).,当且仅当 x=1 时, ,,另解: 观察图象可知,平移直线至与抛物线相切,则切点 即为所求.,联立 得,设切线方程为 2x-y+C=0,,由 得 C=-1,又由( )得 x=1,y=1.,故所求点的坐标是(1,1).,点评:此处用到了数形结合的方法.,x,y,O,p,1.过点(0,2)与抛物线 只有一个公共点的直线有( ) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数多条,C,互动练习,2.在抛物线y2=64x上求一点,使它到直线:4x+3y+46=0的距离最短,并求此距离。,分析:,抛物线上到直线距离最短的点,是和此直线平行的切线的切点。,y,x,y2=64x 4x+3y+46=0,解:,无实根,直线与抛物线相离,设与4x+3y+46=0平行且与y2=64x相切的直线方程为y=-4/3 x+b,L,P,则由,y=-4/3 x+b y2=64x,消x化简得 y2+48y-48b=0,=482-4(-48b)=0,b=-12,切线方程为:y=-4/3 x-12,y=-4/3 x-12 y2=64x,解方程组,得,x=9 y=-24,切点为P(9,-24),切点P到的距离d=,抛物线y2=64x到直线:4x+3y+46=0有最短距离的点为P(9,-24),最短距离为2。,二、抛物线的焦点弦性质,例1.过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和 抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为2 p (3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; (4)若直线AB的倾斜角为,则|AB|=2p/sin2 (5)以AB为直径的圆与准线相切. (6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为2p,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (5)以AB为直径的圆与准线相切.,故以AB为直径的圆与准线相切.,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2;,证明:思路分析:韦达定理,F,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2;,法3:利用性质焦点F对A、B在准线上射影的张角为90 。,代入抛物线得y2ms,,练习 (1).若直线过定点M(s,0)(s0)与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.,证明:设AB 的方程为=ms (m),(2). 若直线与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证:直线过定点 (s,0)(s0),证明:,若直线与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),则 直线过定点 M(s,0),(s0) x1x2=s2;y1y2=-2ps.,(1)M为焦点,即过(p/2,0),x1x2=p2/4;y1y2=-p2.,(2)M过(p,0),x1x2=4p2;y1y2=-4p2.,x1x2=p2;y1y2=-2p2.,(3)M过(2p,0),(4)M过(3p,0),x1x2=9p2;y1y2=-6p2.,(5)M过。,抛物线对称轴上的重要结论,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (4)若直线AB的倾斜角为,则|AB|=2p/sin2 ,证明: 思路分析|AB|=|AF|+|BF|=,思考:焦点弦何时最短?,过焦点的所有弦中,通径最短,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则,例2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴.,例2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (2)过B作BC准线l,垂足为C,则AC过原点O共线. (2001年高考题),例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的 两点,且OAOB, 1. 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积; 2. 求证:直线AB过定点; 3. 求弦AB中点P的轨迹方程; 4. 求AOB面积的最小值; 5. 求O在AB上的射影M轨迹方程.,二、抛物线中的直角三角形问题,例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点,且OAOB, (1) 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积;,解答 (1)设A(x1, y1),B(x2, y2),中点P(x0, y0),, OAOB kOAkOB=-1, x1x2+y1y2=0, y12 = 2px1,y22 = 2px2, y10, y20, y1y2=4p2 x1x2=4p2.,例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点,且OAOB, (2) 求证:直线AB过定点;,解答(2) y12=2px1,y22=2px2 (y1y2)(y1+y2) = 2p(x1x2), AB过定点T(2p, 0).,同理, 以代k得B(2pk2, -2pk) .,例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点,且OAOB, (3) 求弦AB中点P的轨迹方程;,即 y02 = px0-2p2, 中点M轨迹方程 y2 = px-2p2,(3)设OAy = kx,代入y2=2px 得: k 0,,(4),当且仅当|y1|=|y2|=2p时,等号成立.,例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点,且OAOB, (4)求AOB面积的最小值;,(5)法一:设M(x3, y3), 则,例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点,且OAOB, (5)求O在AB上的射影M轨迹方程.,由(1)知,y1y2=-4p2,,整理得:x32+y32 -2px3=0, 点M轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉(0, 0)., M在以OT为直径的圆上 点M轨迹方程为(x-p)2+y2=p2, 去掉 (0, 0). 评注:此类问题要充分利用(2)的结论., OMT=90, 又OT为定线段,法二: AB过定点T(2p, 0).,7. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点,且OAOB, (5)求O在AB上的射影M轨迹方程.,小结:,在求轨迹方程问题中易于出错是对轨迹方程纯粹性及完备性的忽略。因此,在求出曲线方程之后而仔细检查有无“不法分子”掺杂其中,应将其剔除;另一方面又要注意有无“漏网之鱼”“逍遥法外”,应将其找回。,四、点与抛物线,点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p0)的位置关系及判断方法.,1.点在抛物线外,2.点在抛物线上,3.点在抛物线内,y02-2px00,y02-2px0=0,y02-2px00,解:,l1,l2,【例题5】,如图所示,直线L1与L2相交于M点L1L2,NL2,以A,B为端点的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等, 为锐角三角形, ,建立适当坐标系,求曲线C的方程。,分析:1.如何选择适当的坐标系。 2.能否判断曲线段是何种类型曲线。 3.如何用方程表示曲线的一部分。,如图所示,直线L1与L2相交于M点L1L2 ,NL2,以A,B为端点的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等, 为锐角三角形, ,建立适当坐标系,求曲线C的方程。,l1,l2,解法一:,由图得,,曲线段C的方程为:,即抛物线方程:,建立如图所示的直角坐标系,原点为O(0,0),O,,,如图所示,直线L1与L2相交于M点L1L2 ,NL2,以A,B为端点的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等, 为锐角三角形, ,建立适当坐标系,求曲线C的方程。,l1,l2,解法二:,曲线段C的方程为:,建立如图所示的直角坐标系,原点为O(0,0),O,y,x,B,A,M,N,Q,曲线段C的方程为:,(1)直线l过抛物线y2=2px (p0)的焦点且与x轴垂直, 若l被抛物线截得的线段长为6,则p=_,3,(2,0),x=-2,7,(2,4),(2,-4),(3)抛物线的顶点在原点, 对称轴为y轴,焦点在 x+2y-12=0上, 则它的方程为_.,(4)抛物线y2=2x上的两点A、B 到焦点的距离和为5,则线段AB 中点到y轴的距离是_.,x2=24y,2,(5) 一抛物线拱桥,当拱顶离水面2米时,水面宽 4米,则当水面下降1米后,水面宽_米。,x2=-2y,8. A、B是抛物线y22px(p0)上的两点,且OAOB. (1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积; (2)求证:直线AB恒过定点; (3)求弦AB中点P的轨迹方程; (4)求AOB面积的最小值 【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),中点P(x0,y0),已知抛物线 的焦点为F,其准线与x轴交于点M,过点M作斜率为k的直线l交抛物线于A、B两点,弦AB的中点为P,AB的垂直平分线与x轴交于点E( O). (1)求k的取值范围(2)求证: (3)PEF能否成为以EF为底的等腰三角形? 若能,求出k的值,若不能,请说明理由.,解:由题设有 (1)设 令 (2)设AB中点为 AB的垂直平分线的方程为 令
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