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101 纯弯曲时梁的正应力 102 常用截面的惯性矩、平行移轴公式 103 弯曲正应力的强度条件 104 提高梁弯曲强度的措施,第十章 工程力学之弯曲应力,10-1 纯弯曲时梁的正应力,弯曲应力,纯弯曲: 梁内各横截面上的剪力为零、弯矩为常数的受力状态。,横力弯曲: 弯曲梁横截面上既有剪力、又有弯矩的受力状态。,如图10-1(a)所示的简支梁,其剪力图如图10-1(b)所示,弯矩图如图10-1(c)所示。可以看出梁中间一段的剪力为零,而弯矩为常数,即为纯弯曲; AC 和DB 段上既有剪力,又有弯矩,为横力弯曲。,弯曲应力,一、变形的几何关系,1. 梁的变形特点,如图10-2(a)所示,取梁的纵向对称面为xy平面。梁上的外载荷就作用在这个平面内,梁的轴线在弯曲变形后也位于这个平面内。,加载之前,先在梁的侧面,分别画上与梁轴线垂直的横线mn、m1n1,与梁轴线平行的纵线ab、a1b1,前二者代表梁的横截面; 后二者代表梁的纵向纤维。如图10-2(a)所示。,弯曲应力,在梁的两端加一对力偶,梁处于纯弯曲状态,将产生如图10-2(b)、图10-2(c)所示的弯曲变形,可以观察到以下现象:,两条横线仍为直线,仍与纵线垂直,只是横线间作相对转动,由平行线变为相交线。,梁上纵线(包括轴线)都变成了圆弧线,近凹边的纵线缩短,近凸边的纵线伸长。,横截面的高度不变,而横截面的宽度在纵向纤维的缩短区有所增加,在纵向纤维的伸长区有所减少,如图10-2(c)所示。,弯曲应力,根据上述观察到的现象可作如下两个假设:,梁在纯弯曲时,各横截面始终保持为平面,并始终垂直于梁的轴线,这就是梁的平面假设。,纵向纤维之间没有相互挤压,每根纵向纤维只受到简单拉伸或压缩。,根据变形和平面假设,经分析得如下两个结论:,纯弯曲梁横截面上没有剪应力,只有正应力。,纯弯曲梁有一个中性层,每个横截面有一个中性轴。,中性层: 由于变形的连续性,纵向纤维从伸长区到缩短区,必有一层纵向纤维既不伸长,也不缩短,这一长度不变的过渡层,称为中性层,中性轴: 中性层与横截面的交线。根据梁受力和变形的对称性,中性轴一定与对称轴垂直。,弯曲应力,2. 梁的变形规律,可以证明,纯弯曲梁变形后的轴线为一段圆弧。将图10-2(b)中代表横截面的线段mn和m1n1延长,相交于C点,C点就是梁轴弯曲后的曲率中心。若用 表示这两个横截面的夹角, 表示中性层 的曲率半径,因为中性层的纤维长度 不变,故有,在如图10-2所示的坐标系中,y轴为横截面的对称轴,z轴为中性轴,则距中性层为y的任一纵向纤维ab,变形后的长度为,其线应变为,弯曲应力,这就是横截面上各点的纵向线应变沿截面高度的变化规律。它说明梁内任一纵向纤维的线应变与该纤维到中性层的距离y成正比,与中性层的曲率半径 成反比。,弯曲应力,二、变形的物理关系,梁纯弯曲时,我们设想纵向纤维只产生简单拉伸或压缩,在正应力没有超过材料的比例极限时,由虎克定律和式(10-1)得,上式即为横截面上弯曲正应力的分布规律。它表明: 梁纯弯曲时,横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比,距中性轴同一高度上各点的正应力相等。矩形截面梁横截面上正应力的分布规律如图10-3所示,显然在中性轴上各点的正应力为零,而在中性轴的一边是拉应力,另一边是压应力; 横截面上、下边缘各点的正应力最大。,弯曲应力,三、变形的静力学研究,在梁的横截面上任取一微面积 ,如图10-4所示,作用在这微面积上的力为 ,因为横截面上没有轴向内力,所以作用在各微面积 上的力 的合力应等于零,即有,将式(102)代入上式,得,因为 ,所以一定有,弯曲应力,积分 称为整个横截面对中性轴z的静矩,单位为立方米(m3)或立方毫米(mm3)。yC为该截面的形心坐标。因A0,则yC=0,即中性轴z必通过横截面的形心。这样中性轴的位置就确定了。因为y轴是横截面的对称轴,显然也通过横截面的形心,可见在横截面上所选的坐标原点O就是横截面的形心。,纯弯曲梁横截面上的内力为一力偶,即弯矩。该弯矩就是横截面上所有微面积的内力的合力,即有,将式(10-2)代入上式,得,弯曲应力,式中定积分 称为横截面对中性轴z的惯性矩,用IZ表示。其单位为米4(m4)或毫米4(mm4)。于是上式即为,该公式称为梁弯曲变形的基本公式。它说明梁轴曲线的曲率 与弯矩M成正比,与EIZ成反比。EIZ称为梁的抗弯刚度。,弯曲应力,四、梁的弯曲正应力,1. 梁的弯曲正应力,这就是纯弯曲梁横截面上的正应力公式。公式中的负号与坐标系中y轴的正方向有关。应用式(10-4)时,要将M和y按规定的正负号代入,求得的弯曲正应力如果是正号,即为拉应力,如果是负号,即为压应力。但在实际计算中通常用M和y的绝对值来计算的大小,再根据梁的变形情况,直接判断是拉应力还是压应力。梁弯曲变形后,凸边的应力为拉应力,凹边的应力为压应力。这样就可把式(10-4)中的负号去掉,改写为,公式将式(10-3)代入式(10-2),得,弯曲应力,2. 最大弯曲正应力公式,从式(10-5)可知,梁横截面最外边缘处的弯曲正应力最大。最大弯曲正应力的求解可以分为以下几种情况:,则,如果横截面对称于中性轴。例如矩形,以ymax表示最外缘处到中性轴的距离,则横截面上的最大弯曲正应力为,令,式中WZ称为横截面对中性轴z的抗弯截面模量,简称抗弯截面模量。单位是立方米(m3)或立方毫米(mm3)。,弯曲应力,如果横截面不对称于中性轴,例如图10-5所示的槽形截面。,令y1和y2分别表示该横截面上、下边缘到中性轴的距离,则相应的最大弯曲正应力(不考虑符号一个为拉应力,一个为压力)分别为,式中抗弯截面模量W1和W2分别为 ;,弯曲应力,3. 弯曲正应力公式的应用范围,上述的弯曲正应力公式,是由纯弯曲推导而来,并得到了实践的验证。对于横截面上既有弯矩,又有剪力,即横力弯曲的情况。由于剪力的存在,梁的横截面将发生翘曲; 同时剪力将使梁的纵向纤维间产生局部的挤压应力。这时梁的变形为复合变形,但根据精确分析和实验证实,当梁的跨度l与横截面高度h之比 时,梁横截面上的正应力分布与纯弯曲情况很接近,即剪力的影响很小,所以纯弯曲正应力公式对横力弯曲仍可适用。,纯弯曲梁的正应力公式,只有当梁的材料服从虎克定律,而且在拉伸、压缩时的弹性模量相等的条件下才能适用。,弯曲应力,根据横截面对中性轴的惯性矩的定义可知,惯性矩IZ只与横截面的几何形状以及尺寸有关,它反映的是截面的几何性质。,一、常用截面的惯性矩,10-2常用截面的惯性矩、平行移轴公式,1. 矩形截面,如图10-6所示矩形截面,z为截面的对称轴(即形心轴),在截面中取宽为b、高为dy的细长条作为微面积,即 ,得:,弯曲应力,同理可得截面对y轴的惯性矩Iy和抗弯截面模量Wy分别为,2. 圆形及圆环形截面, 同理可得直径为d的圆形截面对其形心轴y和z的惯性矩为, 外径为D、内径为d的圆环形截面对其形心轴y和z的惯性矩为,弯曲应力,3. 组合截面,工程上常见的组合截面是由矩形、圆形等几个简单图形组成的,或由几个型钢截面组成的。设A为组合截面的面积,A1,A2,为各组成部分的面积,则,即: 组合截面对任一轴的惯性矩,等于各个组成部分对同一轴的惯性矩之和。,例如圆环截面对其对称轴的惯性矩,可看作是大圆的截面对其对称轴的惯性矩,减去小圆的截面对于同一轴的惯性矩。即,弯曲应力,设a、b分别为两平行轴之间的距离,y为微面积dA与z轴的距离,则由图可知微面积dA至z1轴的距离为,二、平行移轴定理,设有一任意截面,如图10-7所示,y、z轴过截面形心,且y/y1,z/z1。已知截面对y、z轴的惯性矩分别为Iy和Iz,求截面对y1、z1轴的惯性矩。,整个截面对z1轴的惯性矩可写成,弯曲应力,因为z轴通过截面的形心c,故yc=0,于是有,上式称为平行移轴定理,即截面对任一轴的惯性矩,等于它对平行于该轴的形心轴的惯性矩,再加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。,由于a2A 和b2A 恒为正值,可见在截面对一组平行轴的惯性矩中,截面对形心轴的惯性矩是最小的。,同理可得,10-3弯曲正应力的强度条件,弯曲应力,一、梁的强度条件,1、如材料的拉伸和压缩许用应力相等,则绝对值最大的弯矩所在的横截面为危险截面,最大弯曲正应力 就在危险截面的上、下边缘处。为了保证梁的安全工作,最大工作应力 就不得超过材料的许用应力 ,于是梁弯曲正应力的强度条件为,梁的弯曲强度条件分为两种情况:,如果横截面不对称于中性轴则W1和W2不相等,在此应取较小的抗弯截面模量。,弯曲应力,2、如果材料是铸铁、陶瓷等脆性材料,其拉伸和压缩许用应力不相等,则应分别求出最大正弯矩和最大负弯矩所在横截面上的最大拉应力和最大压应力,并分别列出抗拉强度条件和抗压强度条件为,式中W1和W2分别是相应于最大拉应力 和最大压应力 的抗弯截面模量, 为材料的许用拉应力, 为材料的许用压应力。,;,弯曲应力,例10-1 某冷却塔内支承填料用的梁,可简化为受均布载荷的简支梁,如图10-8所示。已知梁的跨长为3m,所受均布载荷的集度为q=20kN,材料为A3钢,许用应力 ,问该梁应该选用几号工字钢?,解: 这是一个求梁的抗弯截面模量的问题,应先计算在梁跨中点横截面上的最大弯矩,所需抗弯截面模量为,查型钢规格表,选用18号工字钢, 。,弯曲应力,例10-2 一螺旋压板夹紧装置,如图10-9(a)所示。已知压紧力FCy=3kN,a=50mm,材料的许用应力为 。试校核压板的强度。,解: 压板可简化为一简支梁,如图10-9(b)所示,最大弯矩在截面B上,即,欲校核压板的强度,需计算B处截面对其中性轴的惯性矩,弯曲应力,抗弯截面模量,最大正应力,故压板的强度足够。,弯曲应力,例10-3 试按正应力校核图10-10(a)所示铸铁梁的强度。已知梁的横截面为 字型,如图10-10(b)所示。横截面的惯性矩 ,材料的许用拉应力 ,许用压应力 。,解:(1)求约束力。先由静力平衡方程求出梁的约束力为,(2)画弯矩图,判断危险截面。,弯曲应力,绘出梁的弯矩图,如图10-10(c)所示。由图可知,最大正弯矩在截面C,即 ; 最大负弯矩在截面B,即 。因为T字型不对称于中性轴z,且材料的许用应力 。所以对两个危险截面C和B上的最大正应力要分别进行校核。,(3)强度校核。,C截面:,弯曲应力,B截面:,故知铸铁梁的强度是足够的。,10-4 提高梁弯曲强度的措施,弯曲应力,细长直梁的横截面尺寸,是按正应力强度条件确定的。由式(10-7)可知,横截面的最大正应力与弯矩成正比,而与抗弯截面模量成反比。,如弯矩一定,则梁的最大弯曲正应力数值取决于Wz的值。为了既能提高梁的抗弯强度,又不增加梁的自重,梁的横截面应有较小的横截面面积、较大的抗弯截面模量,即有较大的 。,一根矩形截面梁,宽为b、高为h(hb),在垂向载荷作用下,如果将矩形截面竖放,如图10-11(a)所示,其抗弯截面模量为,弯曲应力,将矩形截面平放,如图10-11(b)所示,则,可见,若: h/b=2时,则W竖=2W横。显然,矩形截面竖放时的抗弯截面模量要比平放时大。由此看来,横截面越高越合理。但高度与宽度之比也有一定的限制,比值过大容易发生侧向失稳或剪切强度不够等问题。,弯曲应力,梁弯曲时,从横截面上的正应力沿截面高度分布规律来看,离中性轴越远,正应力越大,靠近中性轴的地方,正应力很小。因此,矩形截面上靠近中性轴附近的材料,没有被充分利用。为此,可把矩形截面靠近中性轴的材料移到离中性轴较远的地方,以提高截面的抗弯截
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