资源预览内容
第1页 / 共8页
第2页 / 共8页
第3页 / 共8页
第4页 / 共8页
第5页 / 共8页
第6页 / 共8页
第7页 / 共8页
第8页 / 共8页
亲,该文档总共8页全部预览完了,如果喜欢就下载吧!
资源描述
第八届全国现代结构工程学术研讨会 薄壁钢梁在有限转角下的弯扭屈曲分析 周神郝际平 ( 西安建筑科技大学十木丁程学院,曲安7 1 0 0 5 5 ) 提要:在空间杆件分析中,空间转动不是矢量,不能是二维分析的简单扩展,引入伪角矢量作为簿壁构件在三维空间有限转角, 蟮于欧拉有限转角理论得出二阶葶换矩阵,由此推导出梁单元的二阶位移,并利用有限变形理论,得出构件位移与应变的 非线性关系,通过B e r n o u l l i 平截面弯曲假定得出转角与侧移导数,曲率与侧移导数之间的关系,运用薄壁构件稳定理论, 推导出构件弯扭屈曲的总势能,证实了传统理论,同时解决了传统理论所存在的力学缺陷。 关键词,有限转角,伪角矢量,弯扭届曲 一、引言 在薄壁钢梁的稳定理论上,存在传统理论和考虑中面非线性剪切应变能的新近理论。传统理论存在本身难以 克服的理论缺陷,但几十年的使用中并没有通过试验发现它存在足什么问题,并且许多国家规范采用以它为依据 的公式。文献( 1 ) ,( 2 ) 的理论仍属于传统理论范畴,但在推导上使得传统理论显得更加精致。文献( 3 ) 指出了文 献( 1 ) ,( 2 ) 中的缺陷,如截面中面上各点的位移与外荷载的位移对1 - c o s O 采用了不同数量级的简化。本文考虑 了杆什在发生有限转角下对薄壁钢梁整体稳定性的影响。引入伪角矢量作为薄壁构件在三维空间的有限转角,基 于有限转角理论得出构件位移与应变的非线性关系通过B e r n o u l l i 平截面弯曲假定,将V l a s o v S 的中面剪应变 为零的假定扩展到非线性范围,代替传统线性理论,由此得出转角与侧移导数,曲率与侧移导数之间的关系,最 终计算出截面的应变与文献( 1 ) ,( 2 ) 给出的应变表达式是一致的。运用薄壁构件弯扭稳定理论,推导出压弯和受 弯构件弯扭屈曲的总势能,其与传统理论吻合,并且截面中而上各点的位移与外荷载的位移对卜c o s O 进行了两 种相同数量级的简化,解决了文献( 2 ) 对传统理论所指出的缺陷。对自由端受弯矩作用下的悬臂粱的稳定性进行 分析和比较,由于考虑了构件的位移二阶项,所以荷载势能存在线性和非线性项,包含了自由端弯矩在悬臂梁屈 曲过程中的所做的功,使其更具有力学依据。 三维空间有限转角的特性 角矢量可以以矢量的性质作定义: 口= 鼠押J + B 刀2 + 岛吗= O x n ( 1 ) 如图1 所示,由欧拉有限转角理论可知1 舢L S I ,某一欠量 o ,沿另一矢量丹转过角度0 时,新矢量1 P 可表示为: 1 P = o P + ( 露o P ) s i n 口+ 矗( 拜o P ) ( 1 一c o s O )( 2 ) 轴矢量矗,o p 的义积可以用矩阵的乘积来代替,即 n 。P :O xP :迎。P ( 3 )o 工业建筑2 0 0 8 增刊 一岛 0 a引 P = 冠o P 转动轴 图1 欧拉转角的矢量图 ( 4 ) 1 1 5 7 第八届全围现代结构工程学术研讨会 其中冠为转换矩阵即R 讥了s i n 0 舯) + ! 警2 式( 4 ) 也可以解释为从初始构形到真实构形发牛的刚体转动。l i 式转换矩阵中的三角函数按泰勒级数展丁1 = 置:,+ ;( 一) + 业+ 型+ :e x p ( s ( 护) ) ( 5 ) 往空问举标。p ,当真实构形到现时构形时发牛的转角增晕为l f ,则从初始构形至现时构形时发牛的总转角盯 2 P = R1= o 其中。=)()s PR RPR e x p ( S ( g ) 6 容许变分勰= 芝限k 。2d 丢f R e x p ( e S ( 却) ) ) 吉一= s ( 却腿 ( 7 ) 在材料坐标中,当真实构彤至现时构形时发,上的转角增量为毋则从初始构形到现时构彤时发生的总转角 2 P = R R 。P 其f f l R 。= e x p ( S ( O ) ) ( 8 ) 容许霉分船= 芸 Ek 。= 羔f 詹e x p ( s ( 渤) ) c - O = R s ( 鲫 ( 9 ) 对应J - 式( 9 ) R 。中的容许变分册为e x p ( S ( 6 0 ,) ) = g e x p ( e S ( 点O ) ) ( 1 0 ) 其巾吐= O + e 6 0 f _ I - R = e x p ( S ( O ) ) ,咂0e x p ( e S ( 鲫) = e x p ( S ( 一日) ) e x p ( s ( 以) ) ( 1 1 ) 由式( 6 ) 和武( 8 ) 可知,妒与毋之间的关系为| ! f ,= 霄毋 ( 1 2 ) 采用欧拉角会引起复合转角的不方便,故引入R o d r i g u e z S 参数即伪角矢量 = 0 , t a n O ,氖= 吼t a n 罢,藏= 岛t a n 罢 ( 1 3 ) 其中p 的_ 人小口:J 矿了虿j 虿0 4 ) 初始矢最先后转动;,各:至t P ,z P ,则矢量l P ,z P 相应| _ :l 勺位置为- P :R f ;,) 。P ,2 P = R ( O :) 1 P ,故2 P = S :( 占。) P ( 1 4 ) 其中;l 。:f j ,+ 占:一0 “。;:) ( 1 5 ) 1 一口r0 2 mj 。式多,;。;:项,所以;。:;I + 每:。m 此可知,有限角位移不符合矢罩的加法运算法则,它不是矢量。并且 角位移的转动次序是不可变换的,没有变换律。即矢量先后转动角刍:,刍。,刍,后的最终位置与转动角色,氖, 刍:后的最终位置是4 i 同的。 运用式( 1 5 ) ,式( 1 1 ) 可成为 筋各:o ( ;,一“;,舀) ( 1 6 ) 1 0 ,0 怔吣械1 6 J 讯榍得譬2 霄“叔) 】D 锄 其惭阳:旷”矿瑚 ( 1 7 、 A N k 建筑2 0 0 8 增- 第八届全国现代结构工程学术研讨会 由此可知6 0 = L ( 0 ) 5 0 在材料嫩标中,曲率矢量为z = L ( p ) 眵, 为了计算方便瓦n ,化简为L = ,一:5 ( p ) 式( 2 0 ) 与文献( 8 ) 1 5 5 3 节中式( 5 3 1 b ) 应变矢量i 的表达式足一致的。 三、薄壁构件在有限转角下的位移及应变 ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 2 0 ) 本文采用的基本假定为:( 1 ) 梁变形后横截面仍为甲面;( 2 ) 变形前后构件【f J 线始终垂直于平截面;( 3 ) 大变形, 大转角,小应变:( 4 ) 弹性均质,各向同性材料 在梁单元的各点建立材料坐标,可描述不同构形中梁单元的变形。构形c 0 表示初始末变形状态,构形c ,表 示当前已知的变形平衡状态,构形C 2 表示邻近的变形平钠状态。梁单元A 点台- C o ,C I ,C 2 构形中的材料坐标轴分 别川基矢量E l 、E 2 、E 3 ,1 P 】、1e2 、1P3 ,2e l 、2e2 、2e3 表示。其L ,c 0 构形中的材料出标系与嘲定的笛卡尔直角 k 标系是平行的。则在c l ,C 2 构形中,A 点的位置矢昂x :( t Y ,z ) ,x j ( y ,z ) 可表示为 x i ( 工,Y ,z ) = x i + Y 1 e 2 + z 。e 1 x j “,Y ,z ) = x ;+ y :e 2 + z3 已,+ u 。 ( 2 1 a ) ( 2 1 b ) 其中盖;州盖;是刃心S 点征C I 科lC 2 构彤中晌位置矢量n 由式( 4 ) 可知,荩矢量1 P 和乙t 的关系为: 拶 e ,= R2 e ( 2 2 ) 其中R 为转换矩阵( 转角矩阵) 。即 届:J + s ( 口) + l S ( O ) 2 A 点的位移矢量可表示为,。= x :一x j ( 2 3 ) 将式( 2 1 a ) ,( 2 1 b ) ,( 2 2 ) 代入( 2 3 ) ,可得 u I = ,。一( y Y o ) O , + ( z z o ) 0 + ;( y y 。) 够只+ ;( z 一。) 6 1 【馥+ u 。 U 2 = U r v - - ( z 一) t + j I ( z 一) 口,唼一;( y 一) 彰一丢( y 一) 彰 u ,= u 。+ ( ,一) 最+ ;( ,) 或续一;( z - Z o ) a ;一三( Z - Z o ) O j 图2 薄壁构件横截面的位移 ( 2 4 a ) ( 2 4 b ) ( 2 4 c ) 其中U 。,U 。,U 。分别足翦心S 点天于工,Y 和z 轴的刚体位移,如图2 所示。不同于小转角理论,由二阶转角矩 阵推导出的位移比之前多j 二阶项。 工业建筑2 0 0 8 增刊1 1 5 9 p 吖 1一:一口。 r 棚 塑口 一+ 业臼 L 其 第八届全困现代结构工程学术研讨会 米削有限变形理论分析构件的变形灭系,应变与位移的关系为 q l2 U 。一( y Y o ) Z + ( o Z o ) 五十( y Y o ) 最。致+ ( z z 0 ) 以。B + 。 + :1I u ,2 ,+ u v ,一( ,一z 。) z 】2 + u 亿。+ ( Y - Y o ) z 1 2 1 2 C 1 22 U 。一芝+ 寺只只+ 见u 。,一( z z o ) z ,+ u “ + u 。, ( z z o ) 正一( y Y o ) X :l 2 毛,2U 。,+ O y + 去只最一哦u 。,+ f y Y o ) z :+ u 。一u 。【( z z o ) X ,一( y Y o ) Z :】 由B e r n o u l l i 平截面弯曲假定可知,薄壁中面的剪应变为零,即2 = o ,E i ,= 0 ,则 u 。,。一旦+ ;晓或+ g u 。,:o 【,。,+ B + ;见g 一幺u ,。= o U 。,一( z 一) 以+ U 。,【( z z o ) x ,一( Y 一) Z :1 = 0 U 。:一( y y o ) Z + U 。【( z Z o ) 五一( y 一) ) 丘】= 0 由式( 2 6 a ) 和( 2 6 b ) 可知,转角与侧移导数的关系为: 幺= 一u 。+ 圭或u 。; 只= u 。,+ ;最u 。, ( 2 5 a ) ( 2 5 b ) ( 2 5 c ) ( 2 6 a ) ( 2 6 b ) ( 2 6 c ) ( 2 6 d ) ( 2 7 a ) ( 2 7 b ) 截乒翘曲只考虑与Y 和z 的线性关系,故忽略( 2 6 e ) 叶1u 。【( z z o ) X , 一( y Y o ) X l 项和式( 2 6 d ) 中 u 。【( z z 。) 五一( y - ) 五】项,由式( 2 6 c ) 和( 2 6 d ) 叮知 U 。= 其中啦为剪心S 点的翘曲函数。 将式( 2 7 a ) 雨q ( 2 7 b ) 代入式( 2 0 ) B 曲率与侧移导数之间的关系 以= 最,一三1U 。,吉以, z p = 一U 。+ 8 口。 Z 。= U 。+ O U 。 以Y = 0 ,z = 0 代入式( 2 4 a ) 可得截面形心C 纵向位移 ,。= u 。+ y 。眭一z 。B 一丢y 。只B 一;z 。最眭+ 啦t 令U ,= U 。,+ a r X , ,则式( 2 4 a ) 可写为: u = u 。一y e + z q + 丢y 只q + z 最眭+ 啦款 式( 2 5 a ) 又可以写为: l = ,。一Y X = + Z X y 十y 眭:q + z 最,瞑+ u 。+ 寺f u :。+ f
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号