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2008年全国高中数学联赛四川赛区初赛试题2008年5月18日(14:30一16:30)一、选择题(本大题满分30分,每小题5分)1. 设集合,则集合的非空真子集的个数为 ( )(A)13 (B) 14 (C) 15 (D) 162. 在公差为4的正项等差数列中,与2的算术平均值等于与2的几何平均值,其中表示数列的前三项和,则为 ( )(A)38 (B) 40 (C) 42 (D) 443. 某学校的课外数学小组有8个男生和6个女生,要从她们中挑选4个组成代表队去参加比赛,则代表队包含男女各2人的概率为 ( )(A) (B) (C) (D) 4. 设有一个体积为54的正四面体,若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体,则所作四面体的体积为 ( )(A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 45. 已知椭圆的左顶点为,右焦点为,点为椭圆上的一点,则当取最小值的时候,的值为 ( )(A) (B)3 (C) 5 (D) 6. 设则的最小值为 ( )(A) (B) (C) 1 (D)二、填空题(本大题满分30分,每小题5分)7. 函数的最小值为_ . 8. 函数对任意的满足,且,则_.9. 设数列满足:,则的最大公约数为_ .12345678910. 已知正实数满足,则的最小值为_ .11. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为的9个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且“3、5、7”号数字涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有 _ 种。12. 数列、满足:,且,则_. 三、解答题(本大题满分80分,每小题20分)13. 是否存在一个二次函数,使得对任意的正整数,当时,都有成立?请给出结论,并加以证明14. 设是抛物线的焦点,橙子奥数欢迎您,为抛物线上异于原点的两点,且满足延长分别交抛物线于点(如图)求四边形面积的最小值15. 已知与的边分别相切于和,与外接圆相切于,是的中点(如图)求证:16. 已知,其中正整数(1)求证:对于一切的正整数,都;(2)求的最小值,其中约定2008年高中数学联赛四川赛区初赛试题参考答案及评分标准说明:1、评阅试卷时,请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档;其它各题的评阅,请严格按照评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次. 2、如果考生的解答题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分,5分一个档次,不要再增加其它中间档次.一、选择题(本大题满分30分,每小题5分)1、B 2、A 3、C 4、B 5、B 6、C二、填空题(本大题满分30分,每小题5分) 7、8 8、 9、3 10、 11、108 12、三、解答题(本大题满分80分,每小题20分)13、是否存在一个二次函数,使得对任意的正整数,当时,都有成立?请给出结论,并加以证明解:存在符合条件的二次函数 5分设,则当时有: ; ;联立、,解得于是,10分下面证明:二次函数符合条件因为,同理:; 15分所以,所求的二次函数符合条件 20分14、设是抛物线的焦点,为抛物线上异于原点的两点,且满足延长分别交抛物线于点(如图)求四边形面积的最小值解:设,由题设知,直线的斜率存在,设为因直线过焦点,所以,直线的方程为联立方程组,消得由根与系数的关系知:, 5分 于是 10分又因为,所以直线的斜率为,从而直线的方程为:,同理可得 15分故当时等号成立所以,四边形的最小面积为32 20分15、已知与的边分别相切于和,与外接圆相切于,是的中点(如图)橙子奥数工作室欢迎您求证:证明:如图,连结 分别与相切于 和都是的半径, 5分 由对称性知,且于 ,即 10分又, 15分过作两圆的公切线,则又,即 故 20分16、已知,其中正整数(1)求证:对于一切的正整数,都有;(2)求的最小值,其中约定(1)证明:对于一切的正整数,5分(2)由不等式知 10分 15分当时,等于成立,所以有最小值20分
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