第一章习题参考答案1. 请编写绘制以下图形的MATLAB命令，并展示绘得的图形.(1) 、分别是椭圆的内切圆和外切圆.解答方法一（显函数和伸缩变换）的显函数形式为，并利用伸缩变换：的横、纵坐标都是的两倍，的横、纵坐标分别是的两倍和一倍. 编写程序时运用好MATLAB函数plot的语法格式2（x是向量， y是矩阵），以及格式4，使程序简洁. 使用命令axis equal，才能绘得真正的圆. 程序：x=-1:.05:1; % 由40段折线连接成半圆周y=sqrt(1-x.2);plot(x,y;-y,k,2.*x,y;-y;2.*y;-2.*y,k)axis equaltitle(方法一（显函数）)绘得的图形：评价：方法一绘得的图形在外切圆和椭圆的左右两端看起来明显还是折线，而在其余地方看起来比较光滑，原因在外切圆和椭圆的左右两端，导数趋于无穷大，所以，虽然x的步长是固定的，但是在左右两端，y会比别处有更显著的变化. 当然，如果令x的步长更小，例如x=-1:.01:1，绘得的图形将会看起来更光滑一些. 方法二（参数方程和伸缩变换）的参数方程为，关于伸缩变化和MATLAB函数plot的语法的讨论与方法一相同. 特意选取参数t的步长，使得半圆周仍然由40段折线连接而成，如同方法一一样.程序：t=linspace(0,2*pi,81); % 由40段折线连接成半圆周x=cos(t);y=sin(t);plot(x,y,k,2.*x,y;2.*y,k)axis equaltitle(方法二（参数方程）)绘得的图形：评价：虽然半圆周由同样多的折线段连接而成，但是方法二绘得的图形看起来处处一样光滑，事实上，方法二通过等分圆心角来取得圆周上的采样点，并连结线段，所以绘得的“圆形”实际上是正多边形.(2) 指数函数和对数函数的图像关于直线y=x对称.解答指数函数和对数函数互为反函数，在MATLAB函数plot的输入当中交换x和y的次序，就实现反函数，而且图像就是关于直线y=x对称. 根据两点确定一条直线的原理，绘制直线段只需给出两端点的坐标. 使用命令axis equal，才能绘得真正的对称图形，加上坐标网格，能增强对称效果. 指数函数的自变量x的取值区间的左端不能太小，否则绘得的图像会在左边有一段与x轴重合. 程序：x=-3:.1:3;y=exp(x); plot(x,y,k,y,x,k,-3,20,-3,20,k)axis equalaxis(-3,20,-3,20)gridxlabel(x)ylabel(y)title(y=ex 和 y=ln x 的函数图像关于直线 y=x 对称)绘得的图形：(3) 黎曼函数的图像（要求分母q的最大值由键盘输入）.解答输入的英文单词是input，通过在MATLAB帮助文档检索input这个关键词，查到实现键盘输入的MATLAB函数是input，语法格式为：（1） user_entry = input(prompt) 输入项是一个字符数组，input将该字符数组显示在命令窗口，作为提示语，等待用户从键盘输入数值数组并按回车键；input将用户从键盘输入的数值数组赋值给user_entry所代表的变量名.（2） user_entry = input(prompt, s) 第二输入项是规定的字符“s”，表示等待用户从键盘输入的是字符数组.条件“是既约分数，0x0”，即p和q是正整数，pq，p和q的最大公约数等于1. 例如：当q=2时，有黎曼函数的图像的一个坐标点(1/2 , 1/2)；当q=3时，有黎曼函数的图像的两个坐标点(1/3 , 1/3)和(2/3 , 1/3)；当q=4时，有黎曼函数的图像的两个坐标点(1/4 , 1/4)和(3/4 , 1/4)，而x=2/4不是既约分数；可见，在程序中应设置二重循环语句：第一重（外重）是分母q从2到由键盘输入的最大值的循环，步长为1；第二重（内重）是分子p从1到q-1的循环，步长为1，如果p和q的最大公约数等于1，就把p/q和1/q分别添加入横坐标数组x和纵坐标数组y. 注意x和y需要在循环语句之前说明为空数组.当x为有理数（0x1）时，黎曼函数的图像是离散的点集；当x为无理数（0x1）或x=0和1时，黎曼函数的图像是x轴上的0到1之间的稠密点集，看起来就是x轴上从0到1之间的直线段. 因此，图像应该由很多离散点以及x轴上从0到1之间的直线段共同组成. 利用axis命令控制坐标图的坐标范围是，使得坐标图的下边界恰好是x轴上从0到1之间的直线段. 程序：n=input(分母的最大值 n = ); x=;y=;for q=2:n for p=1:q-1 if gcd(p,q)=1 x=x,p./q; y=y,1./q; end endendplot(x,y,k.)axis(0,1,0,1)xlabel(x)ylabel(y)s=strcat(分母的最大值 n = ,num2str(n);gtext(s);title(第一章习题1(3)，黎曼函数的图像)当分母的最大值n=30时绘得的图形：当分母的最大值n=100时绘得的图形：3. 两个人玩双骰子游戏，一个人掷骰子，另一个人打赌掷骰子者不能掷出所需点数，输赢的规则如下：如果第一次掷出3或11点，打赌者赢；如果第一次掷出2、7或12点，打赌者输；如果第一次掷出4,5,6,8,9或10点，记住这个点数，继续掷骰子，如果不能在掷出7点之前再次掷出该点数，则打赌者赢. 请模拟双骰子游戏，要求写出算法和程序，估计打赌者赢的概率. 你能从理论上计算出打赌者赢的精确概率吗？请问随着试验次数的增加，这些概率收敛吗？ 解答（一）算法输入 模拟试验的次数n；输出 打赌者赢的概率p.第1步 初始化计数器k=0；第2步 对i=1,2,n，循环进行第37步；第3步 产生两个在16这6个整数中机会均等地取值的随机数，并把这两个随机数之和赋值给x；第4步 如果x是3或11，那么k加1，进入下一步循环；否则，做第5步；第5步 如果x不是2、7和12，那么做第68步；否则，直接进入下一步循环；第6步 产生两个在16这6个整数中机会均等地取值的随机数，并把这两个随机数之和赋值给y；第7步 如果y不等于x，也不等于7，重复第6步所做的；第8步 如果y等于7，那么k加1，进入下一步循环；否则，直接进入下一步循环；第9步 计算概率p=k./n .（二）MATLAB程序n=10000;k=0;for i=1:n x=ceil(rand*6)+ceil(rand*6); if x =3|x=11 k=k+1; elseif x=2&x=7&x=12 y=ceil(rand*6)+ceil(rand*6); while y=x&y=7 y=ceil(rand*6)+ceil(rand*6); end if y=7 k=k+1; end endendp=k/n注 &与&，|与|分别是短运算符与长运算符，功能有区别，但在上面的程序中效果一样。（三）理论计算每个骰子的点数有6种结果：1，2，3，4，5，6. 掷两个骰子，掷出的点数组合共有6636种结果. 定义是点数之和的概率，则，.玩双骰子游戏，第1次掷出的点数之和为3或11，则打赌者赢，可算得此情形打赌者赢的的概率为当第1次掷出的点数之和是4，5，6，8，9或10，继续掷骰子，直到掷出的点数之和是7或原来的值为止，如果先得到的点数之和是7，则打赌者赢，利用条件概率，可算得此情形打赌者赢的概率为所以打赌者赢的理论概率P为（四）收敛性分析一次打赌相当于伯努利概型，记为随机变量X，取值为0（表示打赌者输）或1（表示打赌者赢），则X的期望为P，方差为.n次打赌，即相互独立地重复试验n次，试验结果可记作随机变量序列，则打赌者赢的频率为平均值. 弱大数定律：，都有.强大数定律：.中心极限定理：当时，随机变量的分布趋向于标准正态分布（也就是说，当n充分大的时候，随机变量的分布近似于均值为P、方差为的正态分布）.用循环语句实现以下计算：考虑试验次数n=100、400、1600和6400共四种情况（即），在每一种情况下，重复计算1000次，得到频率的1000个值，用MATLAB函数std计算无偏标准差，用MATLAB函数hist绘制直方图，添加标示理论概率P的铅直线，用asix控制坐标范围. 程序：n=100,400,1600,6400;for m=1:4; for j=1:1000 k=0; for i=1:n(m) x=ceil(rand*6)+ceil(rand*6); if x =3|x=11 k=k+1; elseif x=2&x=7&x=12 y= ceil(rand*6)+ceil(rand*6) ; while y=x&y=7 y=ceil(rand*6)+ceil(rand*6); end if y=7 k=k+1; end end end p(j,m)=k/N(m); endendP=251/495 % 打赌者赢精确概率，极限分布的均值S=sqrt(P*(1-P)./n) % 极限分布的均方差sigma=std(p) % 1000个频率的无偏标准差for m=1:4 subplot(2,2,m)hist(p(:,m),15)hold on plot(P,P,0,250,k) axis(min(p(:,1), max(p(:,1), 0, 250) % 范围固定 str=strcat(试验次数 n=,num2str(n(m);title(str)hold offend命令窗口显示的计算结果为：P = 0.50707S = 0.049995 0.024998 0.012499 0.0062494sigma = 0.051777 0.025446 0.012144 0.0063688绘得的图形（四幅直方图的横坐标范围是固定