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导数定义例1 在处可导,则 思路: 在处可导,必连续 例2已知f(x)在x=a处可导,且f(a)=b,求下列极限:(1); (2)分析:在导数定义中,增量x的形式是多种多样,但不论x选择哪种形式,y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在处可导的条件,可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。解:(1)(2)例3观察,是否可判断,可导的奇函数的导函数是偶函数,可导的偶函数的导函数是奇函数。解:若为偶函数 令 可导的偶函数的导函数是奇函数另证:已知函数在定义域上可导,设点是函数的图象上距离原点最近的点. (1) 若点的坐标为, 求证:;(2) 若函数的图象不通过坐标原点, 证明直线与函数的图象上点处切线垂直. 证:(1)设Q(x , f (x) )为y = f (x)上的动点,则|OQ| 2 = x2 + f 2 ( x ), 设F(x) = x2 + f 2 ( x ), 则F(x)=2x +2f (x)f ( x ) 已知P为y = f(x) 图形上距离原点O最近的一点, |OP|2为F(x)的最小值,即F(x) 在x = a处有最小值, 亦即F(x) 在x = a处有极小值 F(a)=0, 即 2a+2f (a)f (a)=0 (2) 线段OP的斜率为,y=f(x)之图形上过P点的切线l的斜率为f (a) 由(1)知f (a)f (a) = a,图象不过原点,a 0,f (a) = 1OPl,即直线OP与y=f(x)的图形上过P点的切线垂直.利用导数证明不等式例6求证下列不等式(1) (相减)(2) (相除)(3) 证:(1) 为上 恒成立 在上 恒成立(2)原式 令 (3)令 (理做)设a0,f (x)=x1ln2 x2a ln x(x0).()令F(x)xf(x),讨论F(x)在(0.)内的单调性并求极值;()求证:当x1时,恒有xln2x2a ln x1.()解:根据求导法则有,故,于是,列表如下:20极小值故知在内是减函数,在内是增函数,所以,在处取得极小值()证明:由知,的极小值于是由上表知,对一切,恒有从而当时,恒有,故在内单调增加所以当时,即(利用单调性证明不等式)故当时,恒有(全国卷22)(本小题满分14分)已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函数f(x)的最大值;(ii)设0ab,证明0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.(I)解:函数f(x)的定义域是(-1,),,令,解得x=0,当-1x0时,,又f(0)=0,故当且仅当x=0时,f(x)取得最大值,最大值是0(II)证法一:.由(I)的结论知,由题设0ab,得,因此,所以又 综上(II)证法二:,设,则,当0xa时,因此F(x)在(a,+)上为增函数从而,当x=a时,F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,ba,所以F(b)0,即设,则当x0时,因此G(x)在(0,+)上为减函数,因为G(a)=0,ba,所以G(b)0,t1,原不等式等价于令f(t)=t-1-lnt,当时,有,函数f(t)在递增f(t)f(1)即t-1g(1)=0综上得(2)由(1)令x=1,2,(n-1)并相加得即得利用导数求和例7利用导数求和:(1);(2)。分析:这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度,由求导公式,可联想到它们是另外一个和式的导数,利用导数运算可使问题的解决更加简捷。解:(1)当x=1时,;当x1时,两边都是关于x的函数,求导得即(2),两边都是关于x的函数,求导得。令x=1得,即。单调区间讨论例设,求函数的单调区间.分析:本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 解:. 当时 .(i)当时,对所有,有.即,此时在内单调递增.(ii)当时,对,有,即,此时在(0,1)内单调递增,又知函数在x=1处连续,因此,函数在(0,+)内单调递增(iii)当时,令,即.解得.因此,函数在区间内单调递增,在区间内也单调递增.令,解得.因此,函数在区间内单调递减.(2009安徽卷理) 已知函数,讨论的单调性. 当,即时,方程有两个不同的实根,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.3.设函数在处取得极值,且曲线在点处的切线垂直于直线()求的值;()若函数,讨论的单调性 (3)方程有两个不相等实根 w.w.w.k.s.5.u.c当函数当时,故上为减函数时,故上为增函数(2009山东卷文)已知函数,其中 (1)当满足什么条件时,取得极值?(2)已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.所以 当时,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.当时, x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.综上,当满足时, 取得极值. (2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以设,令得或(舍去), 当时,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时, ; 当时, 【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.(2009浙江文)已知函数 (I)若函数的图象过原点,且在原点处的切线斜率是,求的值; (II)若函数在区间上不单调,求的取值范围解析 ()由题意得 又 ,解得,或 ()函数在区间不单调,等价于 导函数在既能取到大于0的实数,又能取到小于0的实数 即函数在上存在零点,根据零点存在定理,有 , 即: 整理得:,解得分离常数已知函数.()求的最小值;()若对所有都有,求实数的取值范围.学科网解:的定义域为, 的导数. 令,解得;令,解得.从而在单调递减,在单调递增.所以,当时,取得最小值. 学科网()解法一:令,则, 学科网 若,当时,学科网故在上为增函数,所以,时,即.学科网 若,方程的根为 ,此时,若,则,故在该区间为减函数.所以时,即,与题设相矛盾. 综上,满足条件的的取值范围是. 学科网解法二:依题意,得在上恒成立,即不等式对于恒成立 . 令, 则. 当时,因为, 故是上的增函数, 所以 的最小值是,所以的取值范围是. 广东省海珠区2009届高三综合测试二理科数学第21题(本小题满分14分)已知()求函数的单调区间;()求函数在上的最小值;()对一切的,恒成立,求实数的取值范围. () 2分4分()()0tt+2,t无解;5分()0tt+2,即0t时,;7分(),即时,9分10分()由题意:在上恒成立即可得11分(分离常数)设,则12分令,得(舍)当时,;当时, 当时,取得最大值, =-213分. 已知函数,设()求函数的单调区间;学科网()若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值;学科网解析:(I),由,在上单调递增。 由,在上单调递减。的单调递减区间为,单调递增区间为。学科网(II),恒成立学科网(分离常数)当时,取得最大值。,学科网 设函数在及时取得极值()求a、b的值;()若对于任意的,都有成立,求c的取值范围学科网则当时,的最大值为因为对于任意的,有恒成立,所以,解得或,因此的取值范围为学科网18.(2009全国卷理)本小题满分12分。设函数在两个极值点,且(I)求满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点的区域;(II)证明:分析(I)这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根则有故有 右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。(II)这一问考生不易得分,有一定的区分度。主要原因是含字母较多,不易找到突破口。此题主要利用消元的手段,消去目标中的,(如果消会较繁琐)再利用的范围,并借助(I)中的约束条件得进而求解,有较强的技巧性。解析 由题意有又(
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