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(时间:100分钟,满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列说法正确的是()A若ab,则a与b方向相同或相反B零向量是0C长度相等的向量叫做相等的向量D共线向量是在同一条直线上的向量解析:选B.对A,a与b若其中一个为0,不合题意,错误对B,零向量是0,正确;对C,方向相同且长度相等的向量叫做相等向量,错误;对D,共线向量所在直线可能平行,也可能重合,错误故选B.2已知向量a(3,4),b(2,1),如果向量ab与b垂直,则的值为()A.BC. D解析:选D.a(3,4),b(2,1),ab2,|b|.若ab与b垂直,则(ab)babb2250.,故选D.3已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(1,2),C(3,1),且2,则顶点D的坐标为()A(2,) B(2,)C(3,2) D(1,3)解析:选A.设点D(m,n),则由题意知,(4,3)2(m,n2),解得m2,n,D(2,),故选A.4设非零向量a,b,c满足|a|b|c|,abc,则向量a,b的夹角为()A150 B120C60 D30解析:选B.设向量a,b的夹角为,abc,(ab)2c2,a2b22abc2,|a|2|b|22|a|b|cos |c|2.|a|b|c|,cos ,120.5设a,b是非零向量,若函数f(x)(xab)(axb)的图象是一条直线,则必有()Aab BabC|a|b| D|a|b|解析:选A.f(x)(xab)(axb)abx2(a2b2)xab,若函数f(x)的图象是一条直线,那么其二次项系数为0,ab0,ab,故选A.6设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,如果216,|,那么|等于()A8 B4C2 D1解析:选C.216,|4.又|4,|4.M为BC的中点,()|2.7已知向量a,b满足|a|1,|b|2,|2ab|2,则向量b在向量a方向上的投影是()A B1C. D1解析:选B.由投影的定义可知,向量b在向量a方向上的投影是|b|cos (为a与b夹角)由|2ab|2得4|a|24ab|b|24.|a|1,|b|2,ab1,即|b|cos 1.8在ABC中,ABBC3,ABC60,AD是边BC上的高,则的值等于()A B.C. D9解析:选C.分别以BC,AD所在直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,根据已知条件可求得以下几点坐标:A(0,),D(0,0),C(,0),(0,),(,),.故选C.9在ABC中,N是AC边上一点,且,P是BN上的一点,若m,则实数m的值为()A. B.C1 D3解析:选B.如图,因为,mm3m,又B,P,N三点共线,所以m1,则m.10已知A,B,C是锐角ABC的三个内角,向量p(sin A,1),q(1,cos B),则p与q的夹角是()A锐角 B钝角C直角 D不确定解析:选A.ABC为锐角三角形,AB,AB,且A,B(0,),sin Asin(B)cos B,pqsin Acos B0,故p,q为锐角二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分把答案填在题中横线上)11已知向量a,b的夹角为45,且|a|1,|2ab|,则|b|_.解析:因为|2ab|,所以|2ab|2(2ab)24a24abb210,即|b|22|b|60,解得|b|3.答案:312设向量a,b满足|a|2,b(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为_解析:设a(x,y),x0,y0,则x2y0且x2y220,解得x4,y2,即a(4,2)答案:(4,2)13已知直角坐标平面内的两个向量a(1,3),b(m,2m3),使平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成cab,则m的取值范围是_解析:c可唯一表示成cab,a与b不共线,即2m33m.m3.答案:m|mR,m314已知菱形ABCD的边长为2,BAD120,点E,F分别在边BC,DC上,BC3BE,DCDF.若1,则的值为_解析:由题意可得|cos 12022()2,在菱形ABCD中,易知,所以,()()2(1)1,解得2.答案:215已知|a|b|2,且a与b的夹角为60,若ab与a的夹角为,ab与a的夹角为,则_.解析:如图,作a,b,且AOB60,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则ab,ab,a,因为|a|b|2,且AOB60,所以OAB为正三角形,OAB60ABC,即ab与a的夹角60.因为|a|b|,所以平行四边形OACB为菱形,所以OCAB,所以COA906030,即ab与a的夹角30,所以90.答案:90三、解答题(本大题共5小题,每小题10分,共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16已知点A(1,2),B(2,8)以及,求点C,D的坐标和的坐标解:设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由题意得(x11,y12),(3,6),(1x2,2y2),(3,6)因为,所以有和解得和所以点C,D的坐标分别是(0,4),(2,0),从而(2,4)17已知|a|4,|b|3,(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角;(2)求|ab|和|ab|.解:(1)(2a3b)(2ab)61,4a24ab3b261,即644ab2761,ab6.设向量a与b的夹角为,则cos .0180,120.(2)|ab|,|ab|.18在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1)(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(t)0,求t的值解:(1)(3,5),(1,1),求两条对角线的长,即求|与|的大小由(2,6),得|2.由(4,4),得|4.两条对角线的长分别为2,4.(2)(2,1),(t)t2,易求11,25,由(t)0,得t.19在四边形ABCD中,(6,1),(x,y),(2,3)(1)若,求x与y的关系式;(2)若又有,求x,y的值以及四边形ABCD的面积解:(1)(x4,y2),(x4,2y)又,(x,y),x(2y)(x4)y0,即x2y0.(2)(x6,y1),(x2,y3),0,即(x6)(x2)(y1)(y3)0,y22y30,y3或y1.当y3时,x6,于是(6,3),(0,4),(8,0)|4,|8,S四边形ABCD|16.当y1时,x2,于是有(2,1),(8,0),(0,4)|8,|4,S四边形ABCD16.综上可知或S四边形ABCD16.20已知三角形ABC是等腰直角三角形,ABC90,D是BC边的中点,BEAD,延长BE交AC于点F,连接DF.求证:ADBFDC.(用向量方法证明)证明:如图所示,建立直角坐标系,设A(2,0),C(0,2),则D(0,1)于是(2,1),(2,2)设F(x,y),由,得0,即(x,y)(2,1)0,2xy0.又F点在AC上,则,而(x,2y),因此2(x)(2)(2y)0,即xy2.由、式解得x,y,F(,),(,),(0,1),又|cos cos ,cos ,即cosFDC.又cosADB,cosADBcosFDC,故ADBFDC.
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