第8章 气体动理论 8.1 理想气体和平衡态 8.2 理想气体的压强和温度 8.3 能量均分定理 理想气体内能 8.4 分子按空间位置的分布 8.5 麦克斯韦分布律 8.6 相空间和玻耳兹曼分布律 8.7 实际气体和范德瓦耳斯方程 8.8 平均自由程和输运过程,【演示实验】伽尔顿板，气体压强模拟，空气粘滞（卧式转盘）,具有可靠性和普遍性，但不能反映热现象微观本质。,组成物质的大量微观粒子（统称分子）无规则热运动,热学研究物质与温度有关的宏观性质。,热力学：实验总结系统宏观量关系。,系统,宏观量：描述系统宏观性质。如体积、压强、温度,热现象的微观本质：,微观量：描述分子运动状态。例如分子的位置、速度、能量, 一般可以直接观测, 一般不能直接观测,外界,孤立系统：与外界无物质、能量交换,统计物理学：把宏观量看成相应微观量的统计平均值，从物质的微观结构出发，通过求统计平均推导宏观量及其之间的关系。,不追求个别分子的运动细节，研究大量分子集体行为的规律,统计物理学能揭示热现象微观本质，但结果往往与实际不完全一致。, 统计规律,对大量偶然事件整体起作用的稳定的规律,【演示实验】伽尔顿板,统计规律：,一个小球落在哪里有偶然性；,大量小球的分布却是稳定的,少量小球的分布每次都可能不同；, 统计规律,本章以理想气体为例，介绍气体动理论。,热力学 统计物理：,统计物理学初级理论气体动理论：,把单个分子作为统计个体，直接对微观量求统计平均得到宏观量。,只适用于分子间相互作用微弱，分子运动几乎彼此独立的系统,互为补充、相辅相成,近独立粒子系统,8.1 理想气体和平衡态 8.1.1 理想气体 8.1.2 平衡态 8.1.3 理想气体的状态方程,8.1.1 理想气体,密度非常稀薄、分子间相互作用力可以忽略、除相互碰撞瞬间外分子的运动彼此独立的气体,实际气体简化模型，,8.1.2 平衡态,孤立系统经足够长时间后，达到宏观性质不随时间变化的状态，叫做平衡态。,近独立粒子系统,忽略重力，平衡态气体内部密度、压强、温度都处处均匀。,平衡态并不要求系统不受外力作用，只是要求系统与外界达到力的平衡。,平衡态是一种热动平衡。微观上，平衡态系统的分子仍在不停地运动。,8.1.3 理想气体的状态方程,R = 8.31 Jmol1K1,设总分子数为N，气体的摩尔数 = N/NA, 热力学中的平衡态理想气体压强公式,n：气体的分子数密度; k = 1.381023 JK1,涨落, 玻耳兹曼常量,混合气体的压强（道尔顿分压定律）：,ni ：第 i 组分气体分子数密度,第 i 组分气体的分压强（温度均为T）：,8.2 理想气体的压强和温度 8.2.1 理想气体的微观假设 8.2.2 统计平均值 8.2.3 理想气体的压强 8.2.4 理想气体的温度 *8.2.5 光子气体的压强（不讲）,压强：单位面积受到的正压力,【演示实验】气体压强模拟,大量分子频繁撞击器壁，单位面积器壁所受分子撞击力的统计平均值,气体的压强,8.2.1 理想气体的微观假设,1. 分子模型：,（1）分子的大小比分子间平均距离小很多，把分子看成质点；,为什么可以看成质点？,碰撞?,转动?,振动?,（2）除短暂的碰撞瞬间外，分子间及分子与器壁间没有相互作用力；,（3）分子与器壁之间的碰撞是完全弹性碰撞；（4）分子的运动服从牛顿力学规律。,2. 统计假设,（1）当无外力场影响时，平衡态气体分子按空间位置均匀分布；,分子向前、后、左、右、上、下运动的分子各占总数的1/6,统计意义下的假设：,对大量分子，,处于平衡态。,（2）当宏观上气体和器壁都静止时，平衡态气体分子向各个方向运动的概率（可能性）相等。,8.2.2 统计平均值,设 N 个分子组成的系统，处于某一状态。如果在这 N 个分子中，有 N1 个分子的物理量 W 取值为 W1，N2 个分子的取值为 W2，则物理量 W 的算术平均值：,在一定宏观条件下，对系统某一物理量的某一次测量值并不一定等于它的统计平均值,只有当分子数 N 很大时，涨落相对统计平均值很小，才能用统计平均值代表宏观测量值。,直角坐标系中，分子在三个坐标轴上的速度分量平方的统计平均值：, 围绕统计平均值的涨落,如果系统处于平衡态，分子向各个方向运动的概率相等：,因 ，则有:,分子的平均平动动能：,平衡态气体分子沿 x、y、z 三个方向的平均平动动能相等，等于分子平均平动动能的 1/3。,8.2.3 理想气体的压强,忽略重力，容器内压强处处相等。导出容器 A 面所受压强，就得到气体的压强。,第i个分子撞击A面，碰撞是完全弹性的，分子以原速弹回，A面受分子冲量为 。,第 i 个分子在 t 时间内撞击 A 面的次数：,在 t 时间内A 面受到第 i 个分子的冲量：,A 面受到所有分子的冲量：,除以 t 得平均撞击力，再除以面积，得气体的压强：, 把宏观量 p 与微观量统计平均值联系起来,8.2.4 理想气体的温度,把 与 作对比，得,平衡态气体分子沿 x、y、z 三个方向的平均平动动能等于 kT/2。,对大量气体分子才有确切的意义！,统计导出的平衡态理想气体压强公式：,除平动外，多原子分子还有转动，分子中的原子还有振动。,温度反映了系统内部分子热运动的激烈程度,把两个系统用导热壁（如薄金属板）隔开，足够长时间后，状态不再发生变化，达到热平衡。,达到热平衡的两个系统具有相同温度, 温度测量的一个依据,后面会看到，分子的平均转动动能、平均振动能也都与 kT 成正比。,温度的微观意义：,温度的热力学定义：,直觉：,*8.2.5 光子气体的压强（不讲）,辐射场可以看成由各种频率的光子组成的气体，,辐射：物体以电磁波的形式向外发射能量的过程,热运动引起空腔内壁原子间的碰撞使原子激发到较高能级，再跃迁到较低能级就会辐射电磁波，在空腔内形成辐射场。,当辐射场与空腔内壁达到热平衡时，光子气体就可以看成平衡态理想气体。,辐射场,光子气体,光子气体的能量密度：,平衡态光子气体的压强（即辐射压强）等于其能量密度的1/3。,分压强：,压强：,8.3 能量均分定理 理想气体的内能 8.3.1 自由度 8.3.2 能量均分定理 8.3.3 理想气体的内能,8.3.1 自由度,确定一个物体的位置所需的独立坐标的数目，称为该物体的自由度数。,平动自由度（质心位置）、转动自由度（空间取向）、振动自由度,常温下，对双原子气体分子可以不考虑振动自由度，认为分子是刚性的。,振动自由度：对于双原子分子和多原子分子，确定分子中各原子之间相对位置。,分子的自由度：,只考虑与分子能量有关的自由度。,刚性双原子分子：,刚性非直线型多原子分子：,8.3.2 能量均分定理,分子的平动动能在三个平动自由度上平均分配，每个自由度上平均分到 kT/2 的能量。,玻耳兹曼推广到包括转动自由度等其他自由度在内的一般情况：, 能量均分定理,在温度为 T 的平衡态系统（气体、液体和固体）中，分子在每个自由度上的平均动能都等于 kT/2。,平动动能按自由度均分可以用分子向各个方向运动的概率相等来理解。,如果一个分子的自由度为i，则其平均动能,单原子分子：,刚性双原子分子 ：,刚性非直线型多原子分子 ：,能量均分定理：对平衡态下大量分子无规则热运动求统计平均的结果,转动自由度也能平分?,只与系统所处状态有关，而与如何到达该状态的过程无关。,能量均分定理基于分子的能量连续变化这一经典概念。,8.3.3 理想气体的内能,内能：热力学系统中所有分子热运动能量和这些分子之间的相互作用势能的总和,内能是一个状态函数,微观粒子系统中，粒子能量可以取一系列特定的分立值（量子化），能量均分定理不适用。,通常，内能总是对系统的平衡态定义的。,实际气体：内能除与温度有关，还与体积有关。,理想气体：内能只与温度有关，与体积无关。,温度为T 的平衡态下 (mol)理想气体内能：,单原子分子：,刚性双原子分子 ：,刚性非直线型多原子分子 ：,为什么？,8.4 分子按空间位置的分布 8.4.1 大气压随高度的变化 8.4.2 大气密度随高度的变化 8.4.3 分子按空间位置的分布规律,分子无规则热运动、频繁碰撞 每个分子的位置、速度大小和方向都是随机、偶然的。,但实验表明：系统处于平衡态时，具有各种不同位置、速度的分子数占系统分子总数的百分比将不随时间变化,1859年麦克斯韦导出气体分子按速度的分布 麦克斯韦速度分布律,在此基础上，玻耳兹曼得到分子的状态按能量的分布 玻耳兹曼分布律, 服从统计分布规律, 气体动理论的基础, 推广到按动能的分布（麦克斯韦速度分布律）,先推导分子按重力势能的分布,8.4.1 大气压随高度的变化,在地面附近不太高的范围内，大气的温度随高度变化不大，可以看成是等温的。,力学平衡条件 ：, 综合这两种分布给出玻耳兹曼分布律,把大气看成温度为 T 的平衡态理想气体，则由 p=nkT 可得大气密度：,n：大气的分子数密度,m：空气分子的平均质量,得,积分得等温气压公式：,p0：z = 0 处的大气压,大气压随高度按指数规律减小,8.4.2 大气密度随高度的变化,把 p=nkT 代入，得大气的分子数密度：,n0：z = 0 处的分子数密度,在重力场中分子数密度随高度，或随分子的重力势能按指数规律减小。,（皮兰实验，1908）,pmgz：分子的重力势能,8.4.3 分子按空间位置的分布规律,重力场 任意保守力场中分子按空间位置的分布规律：,平衡态下，势能越高的位置分子出现的可能性越小，分子总是优先占据势能较低的位置。,其中 为分子在P 点的势能, 势能是分子空间位置函数,解,取 r = 0 处为势能零点，分子的离心势能：,在转动系统中半径相同的区域，较重颗粒的数密度比较轻颗粒的要大，这就是广泛用于科研和工业生产中的离心分离技术的原理。,天然铀主要成分是238U，可裂变的235U仅占0.7%。在核工业中，通常用离心分离技术增加235U的浓度。,8.5 麦克斯韦分布律 8.5.1 麦克斯韦速度分布律 8.5.2 麦克斯韦速率分布律 8.5.3 平均速率 方均根速率,高斯积分公式（a为正的常量）：,速度出现在P(vx,vy,vz)点附近，单位速度空间体积内的分子数占系统分子总数的百分比。,8.5.1 麦克斯韦速度分布律,1. 速度分布函数,或，一个分子的速度出现在单位速度空间体积内的概率,物理意义：,分子在速度空间分布的概率密度,归一化条件 ：,分子速度 vx、vy、vz 一定出现在 之间,证明：,2. 麦克斯韦速度分布律,推广到分子按动能的分布：,已经导出分子按势能的分布：,：势能，分子空间位置的函数。, 动能，分子速度的函数。,速度分布函数：,常数 C 由归一化条件确定：, 麦克斯韦速度分布律,平衡态系统中分子的速度分布函数：,m：一个分子的质量,k：玻耳兹曼常量,T：系统的温度,1859年，麦克斯韦首先用碰撞概率方法导出。,速率出现在v附近的单位速率区间的分子数，占系统分子总数的百分比。,8.5.2 麦克斯韦速率分布律,1. 速率分布函数,或，一个分子的速率出现在v附近的单位速率区间的概率,物理意义：,归一化条件：, 速率分布的概率密度,2. 麦克斯韦速率分布律,速率分布函数可写成,分子在速度空间分布概率密度为,分子速率处于球壳内的概率：,