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12实验 三 最小二乘法及数据拟合建模的回归分析 一、实验目的 : 1掌握用最小二乘建立回归数学模型。 2学习通过几个数据拟合的回归分析来判断曲线(直线)拟合的精度,通过回归分析来判断模型建立是否正确。 3应用建立的模型进行预测。 二、基本原理和方法 1建立回归数学模型 在进行建模和仿真分析时,人们经常面临用已知系统实测数据应用数学模型描述对应系统,即对数据进行拟合。拟合的目的是寻找给定的曲线(直线) ,它在某种准则下最佳地拟合数据。最佳拟合要在什么准则下的最佳?以及用什么样的曲线模型去拟合。 常用的拟合方法之一是多项式的最小二乘拟合,其准则是最小误差平方和准则,所用的拟合曲线为多项式。 本实验在 Matlab 平台上,以多项式最小二乘拟合为例,掌握回归模型的建立(包括参数估计和模型建立)和用模型进行预测的方法,并学习回归分析的基本方法。 2在MATLAB里,用于求解最小二乘多项式拟合问题的函数如下: polyfit 最小二乘拟合 p=polyfit(x,y,n) 对输入数据y的n阶最小二乘拟合多项式p(x)的系数 Y=polyval(p,x) 求多项式的函数值Y )1n(px)n(px)2(px)1(pY1nn+=L 13以下是一个多项式拟合的例子。 已知 x=0,0.1,0.2,0.3,.,0.9,1 共11个点(自变量), 实测数据y=-0.447, 1.978, 3.28, 6.16, 7.08, 7.34, 7.66, 9.56, 9.48, 9.30, 11.2 求:2阶的预测方程,并用8阶的预测方程与之比较。 x=linspace(0,1,11); y=-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; p=polyfit(x,y,2) %求2阶的预测方程 2210xbxbby += 的系数 p= b2 b1b0z=polyval(p,x); %求预测的y值 (z表示 y)) p2=polyfit(x,y,8) %求8阶的预测方程 z1=polyval(p2,x); plot(x,y,om,x,z,:*rx,z1, :+b) 图中:”0” 代表散点图 “+”代表8阶预测方程 “*”代表2阶预测方程 图1 散点图与2阶预测方程 143回归模型的检验 回归模型的检验是判断数据拟合的好坏即模型建立的正确与否,为建立模型和应用模型提供支持。 在MATLAB平台,用于回归检验的语句如下: b,bint,r,rint,stats=regress(y,X, ) 其中,01122 mmyxx xe=+ + + + +L )m,2,1,0i(iL= 为回归系数 e 随机误差(均值为0,方差2 ) b:回归系数的估计值 b = bint:回归系数的置信区间 r:残差 yyr)= rint:残差的置信区间 stats:统计量 R2F P 用此语句,可以得到回归系数,复相关系数R,方差检验F值,P。 rcoplot(r,rint) %打印残差分布图 在图中,若残差的置信区间不包含零点,则视为异常点,将其剔除后重新计算。 b=leastsq(函数名,b0) % 非线性最小二乘法拟合, b0为初始值 s=sqrt(sum(函数名 .* 函数名 )./(n-2) %计算剩余标准差 15s=sqrt(sum(y-Y).2)./(n-2) %计算剩余标准差 4预测值: 用经过检验的数学模型即可预测数据。即把x代入回归方程对y进行估计,该估计值为 y 。 以下用一个例子说明回归模型的检验与预测: 有人研究了黏虫孵化历期平均温度(x,oC)与历期天数(y,天)之间关系,试验资料列入下表,求直线回归方程,并进行检验。 x,历期平均温度oC 11.8 14.7 15.6 16.8 17.1 18.8 19.5 20.4 Y,孵化历期(天) 30.1 17.3 16.7 13.6 11.9 10.7 8.3 6.7 先作出(xi,yi)的散点图 x=11.8 14.7 15.6 16.8 17.1 18.8 19.5 20.4; y=30.1 17.3 16.7 13.6 11.9 10.7 8.3 6.7 plot(x,y,r+) 图2 历期平均温度(x,oC)与历期天数(y,天)的散点图 16从图中可见y与x基本,因此用一元线性回归。 X=ones(8,1),x; b,bint,r,rint,stats=regress(y,X); b,bint,stats,rcoplot(r,rint) 运行结果: b = 57.0393 -2.5317 bint = 45.9035 68.1750 -3.1851 -1.8782 stats = 0.9374 89.8675 0.0001 得到以下结果: 复相关系数的平方 R2=0.9374, 则R=0.96820.8, F=89.8675 存在极显著的直线回归关系。 p10-4,因此此回归模型y接受。 预测历期平均温度为21.05oC时,孵化历期天数为多少天? 7470.305.21)5317.2(0393.57bxay =+=+=)(天) 图三 残差分布图 (全部观测点) 17观察图中的残差分布,除第一点外,其余残差的置信区间均包含零点,第一个点应视为异常点,将其剔除后重新计算,可得: b = 45.2899 -1.8863 bint = 38.5660 52.0138 -2.2670 -1.5057 stats = 0.9701 162.2546 0.0001 图三 残差分布图 (除掉第一个异常点观测点) 观察图中的残差分布,残差的置信区间均包含零点,置信区间明显缩小,R与F明显增大。重新预测预测历期平均温度为21.05oC时,孵化历期天数 5832.505.21)8863.1(2899.45bxay =+=+=)显然,此估计值应更加符合真实数据。 18三、实验内容: 1用给定的多项式 3x5x6xy23+= 产生一组数据)n,2,1i,y,x(iiL= ,再在 yi上添加随机干扰,然后用ix 和添加了随机干扰的 yi作3次多项式拟合,与原系数比较。如果作2次或4次多项式拟合,结果如何? x为0,1区间上的数据点2给定数据(xi,yi)见下表画出散点图观察二者的关系,试建立合适的线性化回归模型:1/y=b0+b1/x.并作回归分析。xi2 3 4 5 7 8 10 yi106.42 109.20 109.58 109.50 110.00 109.93 110.49 xi11 14 15 15 18 19 yi110.59 110.60 110.90 110.76 111.00 111.20
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