1 二次型及其矩阵表示,1. 二次型的引入与定义,考察在平面直角坐标系,的二次曲线的形状,作坐标变换（坐标轴逆时针旋转,得新坐标系,则同一点P在新老两种坐标系下坐标之间的关,系为：,下方程为,）,若用向量语言即为,（1）,于是将（1）式代入原方程,整理得,即,由此很容易判定该二次曲线为椭圆曲线.,自然会问：,从原坐标系,到新坐标系,的旋转角,是如何确定的？,本章正是从这个问题入手，引入“二次型”的概,念及其化标准形的方法.给出这类问题统一的解决方,新坐标系下方程如何容易,求出？,法.,再看二次曲线的一般方程：,该如何作坐标变换（如何选择旋转坐标轴的角度,代数语言即如何寻找满足要求的二阶方阵），使得,从而判别原二次曲线的形状.,其方程形如,空间解析几何里面，在讨论二次曲面分类时，,线性替换化简一个二次齐次多项式，使它只含有平,也遇到向类似的问题，即将,通过坐标轴旋转化为 “标准型”（只含平方项，再通,过平方项前面系数的符号就可判别这个二次曲面的,大致上述问题，从代数的观点来看，就是用变量的,方项,对于一般的二次齐次多项式，我们有如下定义：,定义5.1 （二次型）,设P是一个数域，一个系数在数域 P的,二次齐次多项式,称为数域P中一个n元二次型，简称二次型,2. 线性替换,为研究二次型，我们常常希望通过变量的线性,替换化简二次型，为此，我们引入“线性替换”：,我们看到：,称为由,到,的一个线性替换，,定义5.2（线性替换）,设,是两组文字，系数在,数域 P 中的一组关系式,或简称线性替换,如果系数行列式,那么该线性替换就称为是非退化的,线性替换也记为,非退化线性替换即为,其中,注 通常的坐标轴旋转是一种老坐标到新坐标,的非退化的线性替换.,（为什么？）,二维的情形，若坐标轴逆时针旋转,则,但非退化的线性替换在几何上反映的并非都是坐标,轴旋转（保持长度单位不变），情况很复杂就是,哪些线性替换对应坐标轴旋转，这将在后面的欧氏,空间中加以讨论,3. 二次型的矩阵,令,则二次型可写成,其中,且 A 为对称矩阵,称（对称阵）A为二次型 f 的矩阵.,即,例1. 二次型,的矩阵为,命题1,二次型和它的矩阵是相互唯一决定的,证明：,给定一个对称阵,显然由,确定的二次型,的矩阵为 A.,则,且,另一方面，若对称阵A和B均为二次型 f 的矩阵，,即若,4. 二次型的变量替换,设有从 X到Y 的非退化线性替换 X =CY，将二次,仍为关于,的二次型.,不妨设,的,矩阵为B，即,则,从而,思考：为什么要考虑非退化的线性替换？,一般的线性替换将二次型仍然变成二次型吗？,定义5.3 （合同，或称相合）,数域 P上n阶方阵 A与B称为合同的（或相合），,如果有数域 P上n阶可逆阵C，使得,命题2,合同关系是一种等价关系即,（反身性）A与自身合同；,（传递性）若A与B合同，B与D合同，则A 与D合同.,（对称性）若A 与B合同，则B与A合同；,（反身性）,（对称性）若 A 与B合同，,（传递性）若A与B合同，B与D合同，即存在可,从而B与A合同；,从而 A 与D合同.,证明：,综上所述，对于二次型,经过非,退化线性替换 XCY，,将原二次型变为关于Y 的二,次型,则 A与B合同，,反之，可以作非退化线性替换,又可将,“还原”成关于X的二次型,这是因为,这种“可逆”关系正是我们考虑非退化线性替换,的原因，它保证了前后两个二次型性质的一致性.,本节重点：,1 二次型的矩阵的写法，注意非平方项.,2 方阵之间的合同关系.,之间的关系.,3 二次型经过非退化线性替换前后两个对称阵,