本章主要讨论晶格的动力学: 晶体中离子实或原子围绕其平衡位置的振动 以及这种振动对固体性质的影响。,晶格振动决定了晶体的宏观热学性质，晶格振动理论也是研究研究晶体的电学性质、光学性质、超导等的重要理论基础。,晶格动力学理论又叫晶格谐振理论，这是在1912年由玻恩和卡门建立的，其基本假设是：假设晶体中每个原子的中心平衡位置在对应的晶格格点上；这个原子离开平衡位置的位移与原子间距比是小量，可以用谐振近似，也就是说原子间的弹性势能可以表达成位移的二次项。,本章主要内容 用最近邻原子间谐力模型来讨论晶格振动的本征频率；用格波来描写晶格原子的集体运动；用量子理论来表述格波相应的能量量子；在此基础上处理固体的热学性质。,3.1 一维晶格的振动晶格振动的根本原因是原子间存在着相互作用力。对于一对原子而言，可以用彼此间的相互作用势能来表示。,一维单原子链的振动是简单可解的问题，又能体现晶格振动的基本特点。把一些主要方法和结论推广到三维情况。,一、一维简单晶格,为了简单起见，采用简谐近似:即原子间相互作用力类似于弹性力，正比于原子间距离对平衡距离的偏差，原子振动犹如弹簧振子。,设两原子间的互作用势为U（r）,这两原子间的互作用力为：,一般条件下，原子作微小振动， Una，为了取近似，将U（r）在平衡位置a附近展成泰勒级数：,当（r-a）很小，即振动很微弱时，展开式只保留到（r-a）2项，则原子间距离变化为（r-a）时,互作用力为：,为常数,得到一对原子间距离变化为（r-a）时受到的弹性力为：,令,称为弹性恢复力系数。,考察第n个原子受到的力：,只考虑最近邻原子间的作用力，则第n个原子受到的力为：,第n个原子的牛顿运动方程为：,通常采用试解的方法求解。假设上式具有简谐波形式的试解：,q为波矢，qna是序号为n的原子在t=0时刻的振动位相。,若两原子的位相因子之差：,l为整数，则,序号为n的原子的位移：,即两原子因振动而产生的位移相同,时,即该两原子有相反的位移。,而当,表明，在任一时刻，原子的位移有一定的周期分布。原子的位移构成了波，这种波称为格波。,格波：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动，不同原子间有振动相位差，这种振动以波的形式在整个晶体中传播，称为格波。,将简谐波形式的试解代入运动学方程,对应相同的角频率，i为整数,考虑振动波函数单值的要求，波矢q可限制在如下范围（简约布里渊区）：,注意到,说明格波的频率 在波矢空间内是以倒格矢2/a为周期的周期函数。 波矢q与波矢q的格波等价。,这也正是晶格排列周期性的结果。,上式中指标n已被消去，这意味着所有原子的运动方程都导出同样的频率波矢关系（称为色散关系）。 表明试解代表一种简正模型（即一个和一个q值）的格波。,格波：,连续介质弹性波：,从形式看，格波与连续介质弹性波完全类似。但连续介质弹性波中的X是可连续取值的；而在格波中只能取na（原子位置），这是一系列周期排列的点。,一个格波解表示所有原子同时作频率为的振动，不同原子有不同的振动位相，相邻两原子的振动位相差为aq。若aq改变,的整数倍，这两个格波所描述的所有原子的振动状态完全相同。,格波的波速,在长波区域，波矢,色散关系的格波称为声频支格波。,周期性边界条件（玻恩卡门边界条件）：,实际情况：N个原子构成的一维晶体，边界上原子受力的情况有别于体内原子。,设想边界条件：无限多个相同晶体相联接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。,近似考虑：N非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。,玻恩卡门边界条件：,德国理论物理学家，量子力学的奠基人之一玻恩，M.(Max Born 18821970). 1954年荣获诺贝尔物理学奖,周期性边界条件（玻恩卡门边界条件）：,上式表明，周期性边界条件限制了晶格振动。即描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的值。,因为q的取值范围限制在第一布里渊区，即,q只能取相隔的分立值,允许的波矢数目等于N；振动谱是分离谱；晶格振动波矢的数目晶格原胞数,在波矢空间中，每一个可能的q所占据的线度为,波矢代表点的密度即为,第一布里渊区内的波矢代表点数目为,（单位长度波矢代表点数目）,二、一维复式格子晶格由质量分别为m和M的两种不同原子构成的一维复式格子，晶格常数2a（相邻同种原子间的距离）。,当原子产生位移时，平衡位置在2n与第(2n+1)个原子的运动方程：,假设：分子内和分子间距离相等，分子内原子和分子间原子的相互作用力相同，即12,2a,试解：,假设：分子内和分子间距离相等，分子内原子和分子间原子的相互作用力相同，即12,A与B分别表示质量为m与M的原子的振幅。将试解代入运动方程可得：,这是振幅A与B的线性齐次方程，A与B不能同时为零，要求,由此可得,一维双原子复式格子具有两支色散关系,声学波和光学波,在布里渊区的边界/ 2 a处达到最大值,在布里渊区的边界/ 2 a处达到最小值,由mM可见，在两支色散关系间存在一频隙。,_O为零,A在布里渊区中心，即倒空间原点达到其最大值：,讨论：（1）光学波与声学波,即,称频率较高的一支O的格波为光学波,因为光学格波的频率处于光波频率范围，大约处于远红外波段，离子晶体能吸收红外光产生光学格波共振，这是光谱学中的一个重要效应。,称频率较低的一支A的格波为声学波。当q 0时， -A有近似于线性的色散关系,而波速为,为一常数。,频率与波矢成正比，波速为常数是弹性波的特点.,（2）相邻两种不同原子的振幅比,这有两种情况：对于声学波 由（3）式,这说明，相邻两种不同原子的振幅有相同的正号或负号，即对于声学波：,相邻原子都是沿着同一方向振动的。,当在长波极限，即波矢q接近于布里渊区中心附近， q 0时， A 0，有,说明长波限原胞内两个原子振幅相同,相邻原子振动的位相差qa 0,对于光学波,表明波长相当长时，声学波实际上代表原胞质心的振动。,相邻两种原子振幅之比，由（3）得到,Page 30,这表明，对于光学波，相邻两种不同原子的振动方向是相反的,可得,长波光学波描述原胞是原子间的相对运动。,当q 0时，cos(qa) 1，又,Page 31,（3）短波限格波的特点以上讨论两频率分支的区别对于短波限，即波矢在布里渊区边界q=/2a处并不明显。对于声学波A ，,质量为m的原子静止，质量为M的原子振动。对于光学波 O，有,质量为M的原子静止，而质量为m的原子振动。两者都对应只有一种原子振动的情形。,Page 32,4、用周期性边界条件确定波矢波恩卡门周期性边界条件,对一维复式格子，有类似的结果：,同一维单原子晶格一样，在第一布里渊区q可有N个不同的取值。,Page 33,注意：这里每个q对应两个不同O，A。所以晶体中共有2N个独立的振动模式。一维双原子晶格中，每个原胞有两个原子，每个原子有一个自由度。因此，晶体的自由度数为2N。得出结论：晶格振动的波矢q的数目晶体的原胞数。晶格独立振动模式（振动频率）数目晶体自由度数,Page 34,对于晶格振动波，最重要的结果是两个：一是分析出具有N个原胞的晶体中的多少个晶格振动的模式（或者说有多少种基本波动解）对应声子的种类。二是计算出振动波的色散关系，即波动频率波数的关系。对应声子的能量动量关系。,本节结束,Page 35,例题：证明一维单原子链的运动方程，在长波近似下，可以化成弹性波方程：,Page 36,在长波近似下，,运动方程化为,在长波近似下，当l为有限整数时，,上式说明，在长波近似下，邻近（在半波长范围内）的若干原子以相同的振幅、相同的位相做集体运动。因此（1）式可统一写成,固体弹性理论所说的宏观的质点运动，正是由这些原子的整体的运动,所构成。这些原子偏离平衡位置的位移,从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离（n+l）a可视为连续坐标x，即,即是宏观上的质点位移u。,Page 37,于是，,代入（2）式化成,其中,是用微观参数表示的弹性波的波速。,晶体中原子振动的波粒二象性：随着固体物理学的成熟，人们将晶格振动波的能量量子称为声子。晶格振动波和声子正是固体中原子振动的波粒二象性的两个表示。原子振动的波动形式：晶格振动波，可看成是机械波。原子振动的粒子形式：声子。声子是解释固体热性质、电性质的关键之一，可以看成是固体中的一种元激发或激发子，不是真的基本粒子。,