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第三章 三维转动群第三章 三维转动群 3.0 李群简述李群简述 李群是一种连续群,每个群元可以用一组(m 个)独立的实参数描写这些参数称为群参数个)独立的实参数描写,这些参数称为群参数。 这组参数可以在欧氏空间的某个区域内连续变 化这个区域称为参数空间化,这个区域称为参数空间。 通常选取合适的群参数,使得 1. 参数空间内,群参数和群元一一对应 2. 单位元对应的群参数都为0 独立实参数的数目定义为连续群的阶也是参 3. 群参数连续变化时,群元也连续变化 独立实参数的数目定义为连续群的阶,也是参 数空间的维数。 李群的群参数李群的群参数 群元乘法规则g(a)g(b)=g(c)可以通过群参数 a,b,c的函数关系体现:c=F(a;b) 群的乘法规则要求群的乘法规则要求 当F(b)对于 和b是连续可微函数时G为李群当F(a;b)对于a和b是连续可微函数时,G为李群 当a和b为小量时 3.01 李群的局域性质 生成元 李群的局域性质 无穷小元素 幺正变换算符 生成元反厄米X + i = Xi 定义厄米生成元Ji = iXi= i g ai a=0 非无穷小群元 a0 g(a) = eia iJi 非无穷小群元 g( ) 生成元的对易关系成元的对易关系 阿贝尔群阿贝尔群 生成元彼此对易 非阿贝尔群非阿贝尔群 Xi;Xj = C k ijXk Jacobi恒等式 X X X + X X X + XX X 0 结构常数 Xi;Xj;Xk + Xj;Xk;Xi + Xk;Xi;Xj = 0 C k ij =C k ji; C l ijC n kl + C l jkC n il + C l kiC n jl = 0 3.02 李群的整体性质李群的整体性质 连通性:群中任意两元素在参数空间中的对应 点过条完全包含在群空间内的路径点,可以通过一条完全包含在群空间内的路径 连接,则参数空间连通。这样的李群称为简单 李群;反之,混合李群。 混合李群一般由若干连通区域组成,每个连通混合李群般由若干连通区域组成,每个连通 区域称为叶,恒元所在的连通区域对应的群元 素构成李群的不变子群其余区域构成相应陪素构成李群的不变子群,其余区域构成相应陪 集。 A B O A B 李群的整体性质李群的整体性质 连通度:参数空间内,可以连续变化的曲线的 组数组数。 数学上已证明:若简单李群G为n度连通,则数学明若简单李群 为 度连通则 一定同态于某单连通的李群G(1对n),G称 为G的覆盖群。覆盖群的真是表示是G的n值表为G的覆盖群。覆盖群的真是表示是G的n值表 示。 紧致性若参数空间为欧氏空间中包含边界的紧致性:若参数空间为欧氏空间中包含边界的 闭区域,则紧致;若开区域,则非紧致。 紧致建立参数空间的积分将有限群对群元求 和进行推广。 群积分群积分 对群元的求和变为对群参数的积分对群元的求和变为对群参数的积分 1 X ! Z dR ! Z drW(r) g X R2G ! Z dR ! Z drW(r) 权函数W(r) W(0) = W(r) Det Fi(a;r) aj a0 j a=0 3.03 有限群到紧致李群的推广有限群到紧致李群的推广 群表示的正交定理 Z dRDa(R)Db(R) 1 ab Z dRDa (R)D b (R) = na ab 特征标正交定理 Z dRa(R)b(R) = ab Z 有限群到紧致李群的推广有限群到紧致李群的推广 线性表示等价于幺正表示线性表示等价于幺表示 等价的幺正表示可以通过幺正的相似变换联系 实表示等价于实正交表示实表示等价于实正交表示 可约表示完全可约。 不可约表示的充要条件 Z hji = Z dR(R)(R) = 1 i Z i ai= hiji = Z dRi(R)(R) 3.1 三维空间中的转动维空间中的转动 三维欧氏空间中的位置矢量 r = 3 X i=1 xi eiR r ! r 0; R为保持空间两点间距离不变的固有转动,全 部的R构成三维转动群。 i1 部的 构成维转动群 以三维欧氏空间为表示空间,有实表示D r 0 = D(R) r;r0= r 组成维幺模实正交矩阵群称为 r = D(R)r;r = r DT(R)D(R) = 1;DetD(R) = +1 D(R)组成三维幺模实正交矩阵群,称为SO(3) 群,是O(3)群的不变子群 3.1.1 SO(3)的生成元( )的成元 无穷小元素R = 1 + M = 1 + aiXiXi= g ai 0 M为反对称实矩阵 01 a a=0 RTR = 1 ) M T = MM = 0 0zy z0x yx0 1 A = aiXi 生成元 yx0 A 生成元 X 0 000 001 1 X 0 001 000 1 X 0 010 100 1 X 0 000 001 1 X 0 001 000 1 X 0 000 001 1 X 0 001 000 1 Xx= 0 001 010 1 A Xy= 0 000 100 1 AXz = 0 100 000 1 A Xx= 0 001 010 1 A Xy= 0 000 100 1 A Xx= 0 001 010 1 A Xy= 0 000 100 1 A 厄米生成元厄米成元 构造厄米生成元Ji= iXi构造厄米成元 J 0 0i0 i00 1 J 0 000 00i 1 J 0 00i 000 1 Jz= 0 i00 000 1 A Jx= 0 00i 0i0 1 A Jy= 0 000 i00 1 A 对易关系 无穷小元素 Ja;Jb = i X c abcJc 无穷小元素 R = 1 iwaJa= 1 iw n J 非无穷小元素 R = eiw n J = R( n;w) 绕坐标轴的转动绕标轴的转动 绕z轴转动w角 R(ez;w) = eiwJz= 1 + (iwJz) + 1 2 (iwJz)2+ = 0 coswsinw0 sinwcosw0 1 A 同样 001 A 同样 0 100 10 cosw0sinw 1 R(ex;w) = 0 0coswsinw 0sinwcosw 1 AR(ey;w) = 0 010 sinw0cosw 1 A 3.2 轴转动表示法 z 轴转动表示法 绕n轴转动w角 R( n;w)绕 轴转动 角 为单位矢量方位角为 () ( ) y n为单位矢量,方位角为(;) 2 0 2 0 2)x 转动角 w 2 0; 2 0;2)x w 2 0 转动角 w w 2 0; R( n;w) = R( n;2 w) n : ( ; + ) 3.2.1 三维转动群的类维转动群的类 绕n轴转动w角 vs 绕n轴转动w角绕n 轴转动w角 vs 绕n轴转动w角 R( n0;w) = R( n! n0)R( n;w)R( n0! n) R( n0! n) n0= n 绕不同轴转动相同角度的转动群元同类 () 互为逆元素 绕不同轴转动相同角度的转动群元同类。 用转动角w标记类Cw,w 2 0; 通常选取Cw中的R(ez,w)作为代表 3.2.2 三维转动群的基础表示维转动群的基础表示 绕n轴转动w角绕 轴转动 角 R( n;w) = R(ez! n)R(ez;w)R1(ez! n) n轴的方位角 (;) z R(ez! n) = R(ez;)R(ey;) = S(;) y = 0 coscossincossin sincoscossinsin 1 A x sin0cos A 三维转动群的基础表示维转动群的基础表示 R( n;w) = S(;)R(ez;w)S1(;) = 0 B n2 x(1 cosw) + cosw nxny(1 cosw) nzsinwnxnz(1 cosw) + nysinw nxny(1 cosw) + nzsinwn2 y(1 cosw) + cosw nynz(1 cosw) nxsinw 1 C A y nxnz(1 cosw) nysinwnynz(1 cosw) + nxsinwn2 z(1 cosw) + cosw A n = sincos n = sinsin n = cos 可以验证 nx= sincos; ny= sinsin; nz= cos R( n w) = eiw n J = eiw aJa 可以验证R(n;w) = e= e 特征标 (w) = 1 + 2cosw 3.2.3 轴转动表示法的参数空间轴转动表示法的参数空间 群参数 (wx;wy;wz) = (w; n(;) =f wg w20; 20; 20;2) 所有的矢量构成参数空间, w20; 20; 20;2) R( n w) = R( n 2w)R(n;w) = R(n;2w) )R(n;) =R(n;) 参数空间的连通性参数空间的连通性 简单李群 a b a bb 参数空间只有一叶参数空间只有一叶 参数空间的连通度参数空间的连通度 路径1:无跳跃 路径2:1次跳跃 路径 :无跳跃 a a a b R(n;) =R(n;) 路径32次跳跃=没有跳跃路径3: 2次跳跃=没有跳跃 aa 结论:根据跳跃次数的奇偶,有两类不同的 路径所以SO(3)群连通度为连通度为2路径,所以SO(3)群连通度为连通度为2. 3.2.4 参数空间上的积分参数空间的积分 参数空间fg参数空间fwg 11 Z w Z Z 2 1 g X R2G ! 1 22 Z 0 sin2 w 2 dw Z 0 sind Z 0 d 特征标的内积 hijji= 2 Z dwsin2 w 2 i(w)j(w)hji Z 0 2 ( )( ) 3.3 SO(3)群的欧拉角表示( )群的欧拉角表示 绕n轴转动w角也可通过下述步骤实现 1. 绕z轴转动alpha角 R(e) r= r 0 0 CG系数的正交关系 X m m SJM;m1m2SJ0M0;m1m2= JJ0MM0 SS+= 1 S+S = 1 m1m2 X JM SJM;m1m2SJM;m0 1m02 = m1m0 1m2m02 JM 3.10 李氏三定理李氏定 定理一:简单李群的线性表示完全由其生成元定理:简单李群的线性表示完全由其生成元 决定。 推论一:若D和D表示的生成元满足 1 则二表示等价。 I 0 j = X 1IjX 推论二:简单李群表示不可约的充要条件是表推论二:简单李群表示不可约的充要条件是表 示空间不存在对所有生成元不变的子空间。 李氏三定理李氏定 推论三:若简单李群的两个不等价不可约的表 示,其维数分别为m1和m2,其生成元分别 为和,若存在矩阵M,使得 I (1) j I (2) j I (1) j M = MI (2) j 则。 IjMMIj M 0 推论四:与简单李群不可约表示所有生成元矩推论四:与简单李群不可约表示所有生成元矩 阵都对
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