习题课3竖直面内的圆周运动学习目标 1.了解竖直面上圆周运动的两种基本模型.2.掌握轻绳约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析.3.学会分析圆周运动问题的一般方法.一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型导学探究如图1所示，长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直面内做圆周运动.试分析：图1(1)当小球在最低点A的速度为v1时，求绳的拉力FT1.(2)当小球在最高点B的速度为v2时，求绳的拉力FT2.(3)小球过最高点的最小速度是多大？(4)假设绳拉球过最高点时最小速度小于，则会产生什么样的后果？请总结绳拉球过最高点的条件.(5)有一竖直放置、内壁光滑的圆环，其半径为r，质量为m的小球沿它的内表面做圆周运动，分析小球在最高点A的速度应满足什么条件？答案(1)最低点：FT1mg(2)最高点：FT2mg(3)由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由FT2mg可知，当FT20时，v2最小，最小速度为v0.(4)当v时，所需的向心力Fnmg.此时，重力mg的一部分提供向心力，剩余的另一部分力会使小球向下偏离圆周轨道，即小球此时不能过最高点做圆周运动，这之前已经脱离圆周轨道了.绳拉球过最高点的条件是：v.(5)与绳拉球模型相似，在最高点A时，有FNmgm，当FN0时，v最小为v0，当vv0时，小球刚好能够通过最高点，当vv0时，小球能够通过最高点.知识深化轻绳模型(如图2所示)的最高点问题图21.绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力).2.在最高点的动力学方程FTmgm.3.在最高点的临界条件FT0，此时mgm，则v.v时，拉力或压力为零.v时，小球受向下的拉力或压力.v时，F0，表示球受杆的作用力方向向下，表现为拉力.当v1时，F时，FN0，即上管壁对球有向下的压力；当0v时，FN，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，F随v 增大而增大.(2)v，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F0.(3)0v，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，F随v的增大而减小.3.小球能过最高点的条件：v0.例2长L0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m2 kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图7所示.在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小(g10 m/s2).图7(1)A的速率为1 m/s；(2)A的速率为4 m/s.答案(1)16 N(2)44 N解析以A为研究对象，设其受到杆的拉力为F，则有mgFm.(1)代入数据v11 m/s，可得Fm(g)2(10) N16 N，即A受到杆的支持力为16 N.根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16 N.(2)代入数据v24 m/s，可得Fm(g)2(10) N44 N，即A受到杆的拉力为44 N.根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44 N.例3(多选)如图8所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，设小球经过最高点P时的速度为v，则( )图8A.v的最小值为B.v若增大，球所需的向心力也增大C.当v由逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小D.当v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大答案BD解析由于小球在圆管中运动，最高点速度可为零，A错误；根据向心力公式有Fnm，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v时，圆管受力为零，故v由逐渐减小时，轨道对球的弹力增大，C错误；v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大，D正确.故选B、D.1. (轻绳作用下物体的运动)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图9所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g10 m/s2)()图9A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N答案B解析水流星在最高点的临界速度v4 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B.2.(轨道约束下小球的运动)(多选)如图10所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动.圆环半径为R，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是()图10A.小球对圆环的压力大小等于mgB.重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力C.小球的线速度大小等于D.小球的向心加速度大小等于g答案BCD解析因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，满足mgmma，即v，ag，选项B、C、D正确.3.(球在管形轨道中的运动)(多选) 如图11所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是()图11A.小球通过最高点时的最小速度是B.小球通过最高点时的最小速度为零C.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力D.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力答案BD解析小球通过最高点的最小速度为0，圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线ab以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，就是外侧管壁对小球的作用力，故B、D正确.4.(杆拉球在竖直面内的运动)质量为0.2 kg的小球固定在长为0.9 m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动.(g10 m/s2)求：(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？(2)当小球在最高点的速度分别为6 m/s和1.5 m/s时，球对杆的作用力.答案(1)3 m/s(2)6 N，方向竖直向上1.5 N，方向竖直向下解析(1)当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则mgm，解得v03 m/s.(2)v1v0，由牛顿第二定律得：mgF1m，由牛顿第三定律得：F1F1，解得F16 N，方向竖直向上.v2v0，由牛顿第二定律得：mgF2m，由牛顿第三定律得：F2F2，解得：F21.5 N，方向竖直向下.课时作业一、选择题(17为单项选择题，810为多项选择题)1.长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点.则下列说法中正确的是()A.小球过最高点时速度为零B.小球开始运动时绳对小球的拉力为mC.小球过最高点时绳对小球的拉力为mgD.小球过最高点时速度大小为答案D2.秋千的吊绳有些磨损，在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千()A.在下摆过程中 B.在上摆过程中C.摆到最高点时 D.摆到最低点时答案D解析当秋千摆到最低点时速度最大，由Fmgm知，吊绳中拉力F最大，吊绳最容易断裂，选项D正确.3.如图1所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为()图1A.0 B. C. D.答案C解析由题意知Fmg2mgm，故速度大小v，C正确.4.如图2所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动.当小球运动到最高点时，即时速度为v ，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是()图2A.mg的拉力 B.mg的压力C.零 D.mg的压力答案B解析当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mgm解得：v，所以 时，杆对球是支持力，即mgFNm，解得FNmg，由牛顿第三定律，球对杆是压力，故选B.5.某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速度v做匀速圆周运动，圆的半径为R，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对