习题四习题四 4-1 设X(t)，t0是一族随机变量，每个 X(t)取值均属于 I=0，1，2，且 X(0)=0，并且 具有独立增量。证明X(t)，t0是一马尔可夫过程。 4-2 证明泊松过程是一个连续时间的齐次马尔可夫链。 4-3 若 X(t)是一马尔可夫过程，t10)，n=n(0)。起始状态 X(0)=n0。 n代表状态为 n 时的自然增长，a 代表移民。(1)写出描写这一过程的福克-普郎克微分方程组；(2) 求描写平均值 MX(t)=EX(t)的微分方程组；(3)求均值 MX(t)。 4-15 在“生灭”过程中，如果参数n=0，n=，则该过程是“纯灭”过程。如果起始状态 X(0)=n，求 Pnj，nj0。 4-16 设X(t)，t0,)是一个状态空间为 I=0，1，2，的纯灭过程，其 Q 矩阵为 11 22 33 0 = Q ? 证明：(1)矩阵 ( ) 0 ( )( ), ,0( ), ,0 n ijij n tp ti jpti j = P是标准的转移概率矩阵。 (2)P(t)由 Q 唯一确定，且有( )( )tt=PP。 4-17 设X(t)，t0,)是纯灭过程，( )( ), , ij tp ti jI=P，证明 1, 0 0() ( )() ( )() j jj t t tt jij ji teji eeps dsji = P 4-18 当题 4-17 的纯灭过程X(t),t0中n=n，即为线性灭亡率，证明： 0() ( )() () (1)() i t ij ijtitij i ij p teij Ceeij 4-19 设有一“生灭”过程X(t),t0，其中参数n=，n=n，、均为常数，且0，0， 其起始状态为 X(0)=0。 (1) 试证明 pn(t)=PX(t)=n满足下列方程式 += += + ) 1()() 1()()()( )( )()( )( 11 10 0 ntpntpntp dt tdp tptp dt tdp nnn n (2) 设 G(u,t)为 X(t)的母函数。试证明 ),() 1( ),( ) 1( ),( tuGu u tuG u t tuG = + (3) 解上述偏微分方程式，证明)1(),(= uefetuG t u ，其中 f是任意函数； (4) 利用起始条件 p0(0)=PX(0)=0=1 或 G(u,0)=1，证明 )1)(1( ),( t eu etuG =； (5) 证明 = n t e n e n etp t )1 ( ! 1 )( )1( (6) 求其均值函数 MX(t)=EX(t)；(7) 试证明 = etp t )(lim 0 。 4-20 酶的产生过程。设有大量实验样品，每个样品包含一个酶分子和母体物质，若在(t,t+t) 时间形成第二个酶分子的样品数与时刻 t 未形成第二个酶分子的样品数成正比，且与时刻 t 无关， 任一个包含酶分子的样品产生第二个酶分子的概率为t+o(t)， 设在间隔t 内增加两个或更多酶分 子的概率为 o(t)。令 X(t)表示在时刻 t 系统中酶分子的个数，证明X(t),t0是纯生过程。 4-21 设有时变、纯增长过程 X(t)，其参数为 )0, 0, 2 , 1 , 0( 1 1 )(= + + = an ta an t n ? 过程的起始状态为 X(0)=0。(1)设 pk(t)=PX(t)=k，写出描写 pk(t)的福克-普郎克微分方程组；(2)解 该微分方程，证明 a tatp 1 0 )1 ()( +=， 1 1 1 () ( )(1)(1) (1) ! kk k a k m t p ta tamk k = =+ 4-22 设X(t)，t0是一个有线性生殖率的纯生过程，即 pij(t)=i(t)+o(t)，若 1 (0)(1)kP Xkpp = 即 X(0)服从参数为 p 的几何分布(k1)，求 X(t)的均值和方差。 4-23 设某更新过程的时间间隔服从泊松分布，其均值为，即 ?, 2 , 1 , 0, ! = k k e kxP k n (1)求 Sn的分布；(2)计算 PN(t)=n。 4-24 设更新过程的时间间隔 xn的分布函数为 F(t)，f(t)为其概率密度，m(t)为0,t内平均更新 的次数，m(t)=EN(t)。试证明 += t dxxfxtmtFtm 0 )()()()( 4-25 在使用中的一机器，或因损坏而更新，或因使用 T 时而更新。如果相继更新的机器的寿 命是相互统计独立的随机变量， 且具有相同的分布函数 F(t)， 其相应的概率密度函数为 f(t)， 试证明： (1) 长期工作时机器更新率为 1 0 )(1 )( + TFTdxxxf T (2) 长期工作中使用的机器的损坏率为 )(1 )( )( 0 TFTdxxxf TF T + 4-26 设 X1，X2，Xn，是独立同分布非负随机变量序列，且 PX1=1=q，PX1=2=p， p+q=1，求更新函数 m(t)。 4-27 设一更新过程的不同到达时刻服从指数分布，即 1(0) ( ) 0(0) t z et F t t = = 求更新过程N(t)，t0的时间间隔 Xn的概率密度。 4-29 设 EXi，n=1,2,，证明 Wald 公式 ( ) 112( ) 11 ( ) 1 N tN t E TE XXXE X E N t + =+=+? 4-30 剩余寿命与年龄的分布。设 r(t)=TN(t)+1-t 为时刻 t 剩余寿命，即从 t 时刻开始到下次更新 剩余的时间，s(t)=t-TN(t)为 t 时刻的年龄。求 r(t)与 s(t)的极限分布。 4-31 商店存货问题。一商店经营某类商品，设顾客按一更新过程到达，到达时间间隔分布是 非格点分布 F；每个顾客购买的商品数是独立同分布随机变量，分布函数为 G。商店的进货策略是： 若某顾客购买后库存量少于 S 就进货，使存货达到 S，否则不进货。即若一顾客购买后库存为 x， 则进货数应是 () 0() SxxS xS 设进货是立即完成的，不占时间。以 X(t)表示在时刻 t 商品库存数量，求lim ( ) t P X tx 。