第二章 点、直线、平面之间的位置关系,2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系,2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系 21.4平面与平面之间的位置关系,1了解直线与平面之间的三种位置关系 2了解平面与平面之间的两种位置关系 3会用符号语言和图形语言表示直线和平面、平面和平面的位置关系,(对应学生用书29页),(对应学生用书29页),观察图中的吊桥，说出立柱和桥面、水面的位置关系，铁轨和桥面、水面的位置关系，两根立柱确定的平面和水面的位置关系,1空间中直线与平面的位置关系,(对应学生用书29页),有无数个公共点,有且只有一个公共点,a,aA,没有公共点,a,2.平面与平面的位置关系,无,a,一条,探究1：“直线在平面外”是指直线与平面平行吗？ 提示：直线与平面的位置关系也可认为分成两种：直线在平面内和直线在平面外，直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交,(对应学生用书29页),探究2：若有两平面，且，直线a，直线b，是否一定有ab呢？ 提示：不一定，a与b可能平行，也可能异面,探究3：直线a与平面平行，直线b，则a与b有怎样的位置关系？ 提示：直线a与平面平行，则直线a和平面内的任何一条直线都不相交，故a与b可能平行，也可能异面.,(对应学生用书30页),直 线 和 平 面,直 线 和 平 面,例1 下列命题中，正确的个数是( ) 如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行,A0 B1 C2 D3 【分析】 本题主要考查直线与平面的位置关系，解答本题要牢牢地抓住直线和平面三种位置关系的特征，结合相关图形，依据位置关系的定义作出判断,【解析】正确，错误如图1所示,l1m，l1， 而l2m，l2.,正确如图2所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，,直线A1C1与直线BD异面， A1C1平面A1B1C1D1，且BD平面A1B1C1D1， 故正确 错误，直线还可能与平面相交，由此可知，正确，故选C. 【答案】 C,【规律方法】 解答此类问题，首先要正确理解直线与平面的三种位置关系的定义：(1)在直线和平面的三种位置关系中，否定其中一种，其反面是另外两种位置关系；(2)直线和平面相交的定义中，“有且只有”包含两层含义：一是“有”表示存在；二是“只有”表示惟一,变式1 (2010年四川模拟)对于不重合的两个平面与，给定下列条件： 存在平面，使得、都平行于平面； 内有不共线的三点到平面的距离相等； 存在异面直线l、m，使得l，l，m，m.,其中可以判断两个平面与平行的条件有_,解析：若与相交，如图，可在内找到A、B、C三个点到平面的距离相等，所以排除.容易证明都是正确的,答案：,要点二 平面与平面的位置关系 空间中的两个平面有且只有两种位置关系：两平面平行和两平面相交 1画两个平行平面时，要注意把表示平面的平等四边形画成对应边平行，如图,2画两个相交平面时，要注意画出交线，被遮挡住的部分用虚线或者不画,例2 、是两个不重合的平面，下面说法中正确的是( ) A平面内有两条直线a、b都与平面平行，那么 B平面内有无数条直线平行于平面，那么 C若直线a与平面和平面都成相等的角，那么,D平面内所有的直线都与平面平行，那么 【分析】 解答本题要牢牢抓住平面平行的概念，即分析两平面是否可能有公共点，借助于图形更可事半功倍,【解析】 根据两平面相交和平行的定义，结合图形判断如下图所示A、B都不能保证、无公共点，如图1；C中当a，a且与相交时，a与、也成等角，但与不平行，如图2；所在只有D说明、一定无公共点,【答案】 D 【规律方法】 判断两平面的位置关系，通常是结合条件，综合考虑各种因素并借助图形，同时要区别无数与任意的不同,变式2 已知平面平面，l，则( ) Al Bl Cl，相交 D以上均有可能 解析：如图所示,由于平面平面，所以平面，无公共点，又l，所以l，无公共点所以l. 答案：B,要点三 线线、线面、面面位置关系综合研究 要判断线线、线面、面面位置关系时，除清楚定义外，还要利用好身边的模型，尤其是“长方形”这个模型。,例3 已知a、b、c为三条不重合的直线，、为两个不重合的平面 ac，bcab；a，bab； ac，ca；a，a； a，b，aba.,其中正确的命题是( ) A B C D 【分析】 本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系解答本题要考虑线线、线面、面面位置关系的特征与定义，结合空间想象能力作出判断,【解析】 由公理4知正确；由直线与平面平行的位置关系知正确从而选A.其中是错误的，因为平行于同一平面的两条直线可能平行、可能相交，也可能异面是错误的，因为当ac，c时，可能a，也可能a.对于，可能平行，也可能相交 【答案】 A,【规律方法】 判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义，要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断,变式3 给出下列几个命题： 过一点有且只有一条直线与已知直线平行； 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行； 过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行,其中正确命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 解析：当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与该直线平行，故错； 由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与一条已知直线垂直的直线有无数条，故错；,过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故错； 过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故对 答案：B,典例 下列命题：直线l与平面内的无数条直线平行，则l；若直线a在平面外，则a；若直线ab，直线b，则a；若直线ab，b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线其中真命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4,(对应学生用书31页),【错解】 C 【错因分析】 思维不严密、对线线、线面平行概念掌握不准确导致错误,【正解】 对于，直线l虽与平面内的无数条直线平行，但l有可能在平面内， l不一定平行于，是假命题 对于，直线a在平面外，包括两种情况：a和a与相交， a和不一定平行，是假命题,对于，直线ab，b，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面内， a不一定平行于，是假命题 对于，ab，ba，那么a或a， a与平面内的无数条直线平行， 是真命题综上，真命题的个数为1.答案为A.,易错补练 、是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定的是( ) A、都平行于直线l、m B内有三个不共线的点到的距离相等 Cl、m是内的两条直线，且l、m Dl、m是两条异面直线，且l、m、l、m,解析：当A中直线lm时，、可能相交；B中、可能平行，可能相交；当C中直线lm时，、可能相交；故D正确 答案：D,1直线和平面的位置关系 (1)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交，统称直线在平面外，我们统一用记号a来表示a、aA这两种情形,(对应学生用书31页),(2)直线与平面位置关系的图形语言表述：一般地，直线a在平面内，应把直线a画在表示平面的平行四边形内；直线a与平面平行时，表示直线的线段应画成与表示平面的平行四边形的一条边平行 (3)直线与平面位置关系的符号语言表述：直线a在平面内，记作a；直线a与平面相交于A，记作aA；直线a与平面平行，记作a.,2两个平面的位置关系 (1)两个平面的位置关系：两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行,(2)两个平行平面的画法： 两个平行平面的画法：画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如图，而图的画法是不恰当的,1过平面外一点，可作这个平面的平行线条数为( ) A1条 B2条 C无数条 D不确定,(对应学生用书31页),解析：过平面外一点，可作这个平面的平行平面，该平面内过该点的所有直线都与这个平面平行 答案：C,2若aA，则直线a与平面内的直线的可能关系是( ) A相交 B相交或异面 C异面与平行 D相交或平行 解析：a与内的直线相交或异面 答案：B,3如果直线ab，且a平面，则b与的位置关系是( ) A相交 Bb Cb Db或b 解析：b在内或b与平行 答案：D,4下列四个命题： 两条直线和同一平面平行，则这两条直线平行； 两条直线没有公共点，则这两条直线平行； 两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行,一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行 其中正确命题的个数是( ) A3个 B2个 C1个 D0个,解析：两直线平行于同一个平面，可以平行、相交或异面，错；两条直线没有公共点，可以平行，或者异面，错；两条直线都和第三条直线垂直，可以平行，也可以相交，还可能异面，错；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，这条直线可以在这个平面内，可以和这个平面相交，也可以和此平面平行，错故选D. 答案：D,5在如图正方体中，与平面AA1C1C平行的棱有_，与棱BB1平行的面有_,答案：BB1和DD1 面AD1和面DC1,课时作业 (九),