专题07 导数及其应用1函数yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象的大致形状是()解析：由f(x)图象先降再升后趋于平稳知，f(x)的函数值先为负，再为正，后为零故选D.答案：D2曲线ye在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.e2 B4e2C2e2 De2解析：ye，kee2，切线方程为ye2e2(x4)，令x0，得ye2，令y0，得x2，所求面积为S2|e2|e2.答案：D3已知偶函数f(x)(x0)的导函数为f(x)，且满足f(1)0，当x0时，xf(x)0成立的x的取值范围是()A (，1)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(1,0)(0,1)答案：D4若函数f(x)x3x22bx在区间3,1上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为()A2b BbC0 Db2b35函数f(x)2xln x的单调递增区间是_解析：函数f(x)2xln x的定义域为(0，)，由f(x)20，解得x，所以函数f(x)2xln x的单调递增区间为.答案： 6已知f(x)axln x1(aR)，x(0，)，f(x)为f(x)的导函数，f(1)2，则a_.解析：f(x)aln xa，f(1)a2.答案：27已知函数f(x)(x1)ln xx1.(1)若0，求f(x)的最大值；(2)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线xy10垂直，证明：0.解析：(1)f(x)的定义域为(0，)，当0时，f(x)ln xx1.则f(x)1，令f(x)0，解得x1.当0x0，f(x)在(0,1)上是增函数；当x1时，f(x)0，f(x)在(1，)上是减函数故f(x)在x1处取得最大值f(1)0.(2)证明：由题可得，f(x)ln x1.由题设条件，得f(1)1，即1.f(x)(x1)ln xx1.由(1)知，ln xx10，且x1)当0x1时，f(x)(x1)ln xx1xln x(ln xx1)0.当x1时，f(x)ln x(xln xx1)ln xx0，0.综上可知，0.8已知函数f(x)xa(2ln x)(a0)，求函数f(x)的单调区间与极值点当a280，即a2时，方程g(x)0有两个不同的实数根x1，x2，0x1a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解析：(1)函数f(x)x22aln x(a2)x，f(x)x(a2)(x0)当a1时，f(x)，f(1)2，则所求的切线方程为yf(1)2(x1)，即4x2y30.(2)假设存在这样的实数a满足条件，不妨设0x1a知f(x2)ax2f(x1)ax1成立，令g(x)f(x)axx22aln x2x，则函数g(x)在(0，)上单调递增，则g(x)x20，即2ax22x(x1)21在(0，)上恒成立，则a.故存在这样的实数a满足题意，其取值范围为.10已知函数f(x)xln x(x1)(axa1)(aR)(1)若a0，判断函数f(x)的单调性；(2)若x1时，f(x)0恒成立，求a的取值范围解析：(1)若a0，f(x)xln xx1，f(x)ln x.当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数(2)由题意知f(x)xln x(x1)(axa1)0在x(1，)上恒成立，f(x)为(1，)上的增函数，f(x)f(1)0，即f(x)1，只需ln x0在(1，)上恒成立记h(x)ln x，x(1，)，则h(x)，x(1，)由h(x)0，得x11，x2.若a0，则x20在(1，)上恒成立，故h(x)为增函数，h(x)h(1)0，不合题意若0a0，h(x)为增函数，h(x)h(1)0，不合题意，若a，x(1，)时，h(x)0，h(x)为减函数，h(x)1时，f(x)0)(1)若a1，证明：yf(x)在R上单调递减；(2)当a1时，讨论f(x)零点的个数解析：(1)证明：当x1时，f(x)10，f(x)在1，)上单调递减，f(x)f(1)0；当x1时，f(x)ex110.所以yf(x)在R上单调递减(2)若xa，则f(x)aa1)，所以此时f(x)单调递减，令g(a)f(a)ln aa21，则g(a)2a0，所以f(a)g(a)g(1)0，即f(x)f(a)0，故f(x)在a，)上无零点当x2时，f(x)0，f (x)单调递增，又f(0)e10，f0，所以此时f(x)在上有一个零点当a2时，f(x)ex1，此时f(x)在(，2)上没有零点当1a2时，令f(x0)0，解得x0ln(2a)110，所以此时f(x)没有零点综上，当12时，f(x)有一个零点13设函数f(x)ln xax(aR)(e2.718 28是自然对数的底数)(1)判断f(x)的单调性；(2)当f(x)0在(0，)上恒成立时，求a的取值范围；(3)证明：当x(0，)时，(1x)e. (2)f(x)在(0，)上恒成立，设g(x)，则g(x)，当x(0，e)时，g(x)0，g(x)为增函数，当x(e，)时，g(x)0，g(x)为减函数，故当xe时，g(x)取得最大值，所以a的取值范围是.(3)证明：要证当x(0，)时，(1x)e，设t1x，t(1，)，只要证tet，两边取以e为底数的对数，即ln tt1.由(1)知当a1时，f(x)ln xx的最大值为1，此时x1，所以当t(1，)时，ln tt1，即得ln tt1，所以原不等式成立14已知函数f(x)(x2x1)ex，其中e是自然对数的底数(1)求曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线；(2)若方程f(x)x3x2m有3个不同的根，求实数m的取值范围 (2)因为f(x)(2x1)ex(x2x1)ex(x2x)ex，当x0时，f(x)0；当1x0，所以f(x)(x2x1)ex在(，1)上单调递减，在(1,0)上单调递增，在(0，)上单调递减，所以f(x)在x1处取得极小值f(1)，在x0处取得极大值f(0)1.令g(x)x3x2m，得g(x)x2x.当x0时，g(x)0；当1x0时，g(x)0，所以g(x)在(，1)上单调递增，在(1,0)上单调递减，在(0，)上单调递增故g(x)在x1处取得极大值g(1)m，在x0处取得极小值g(0)m.因为方程f(x)x3x2m有3个不同的根，即函数f(x)与g(x)的图象有3个不同的交点，所以，即.所以m1.在校园的时候曾经梦想去桂林，到那山水甲天下的阳朔仙境，漓江的水呀常在我心里流，去那美丽的地方是我一生的期望，有位老爷爷他退休有钱有时间，他给我描绘了那幅美妙画卷，刘三姐的歌声和动人的传说，亲临其境是老爷爷一生的心愿，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有时间的时候我却没有钱，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有了钱的时候我却没时间7