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专题10 数列、等差数列等比数列1在数列an中,已知a1a2an2n1,则aaa等于()A(2n1)2B.C4n1 D.【答案】:D【解析】:设Sn为an的前n项和,Sna1a2an2n1,当n2时,Sn12n11,an2n1(2n11)2n1,a4n1,当n1时,a11也符合上式,所以aaa.2已知等比数列an中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则()A1 B1C32 D32【答案】:C【解析】: 3设等比数列an的前6项和S66,且1为a1,a3的等差中项,则a7a8a9()A2 B8C10 D14【答案】:B【解析】:依题意得a1a32a2,即S3a1a2a32,数列S3,S6S3,S9S6成等比数列,即数列2,4,S96成等比数列,于是有S9S68,即a7a8a98,选B.4已知数列an的首项a12,数列bn为等比数列,且bn,若b10b112,则a21()A29 B210C211 D212【答案】:C【解析】:由bn,且a12,得b1,a22b1;b2,a3a2b22b1b2;b3,a4a3b32b1b2b3;an2b1b2b3bn1,a212b1b2b3b20,又bn为等比数列,a212(b1b20)(b2b19)(b10b11)2(b10b11)10211.5已知Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则等于()A4 B6C8 D10【答案】:C【解析】:设数列an的公差为d,则S1a1,S22a1d,S44a16d,故(2a1d)2a1(4a16d),整理得d2a1,所以8,选C.6在数列an中,若a12,且对任意正整数m,k,总有amkamak,则an的前n项和Sn()An(3n1) B.Cn(n1) D.【答案】:C【解析】:依题意得an1ana1,即有an1ana12,所以数列an是以2为首项、2为公差的等差数列,an22(n1)2n,Snn(n1),选C.7.在等差数列an中,a13a3a1510,则a5的值为()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A 8.等比数列an的前n项和为Sn,若2S4S5S6,则数列an的公比q的值为()A.2或1 B.1或2C.2 D.1【答案】C【解析】法一若q1,则S44a1,S55a1,S66a1,显然不满足2S4S5S6,故A、D错.若q1,则S4S60,S5a50,不满足条件,故B错,因此选C.法二经检验q1不适合,则由2S4S5S6,得2(1q4)1q51q6,化简得q2q20,解得q1(舍去),q2.9.已知an为等差数列,其公差为2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为an的前n项和,nN*,则S10的值为()A.110 B.90 C.90 D.110【答案】D 10.等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn等于()A.n(n1) B.n(n1)C. D.【答案】A【解析】由a2,a4,a8成等比数列,得aa2a8,即(a16)2(a12)(a114),a12.Sn2n22nn2nn(n1).11.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且,则使得为整数的正整数n的个数是()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】 D【解析】 由等差数列的前n项和及等差中项,可得7 (nN*),故n1,2,3,5,11时,为整数.即正整数n的个数是5. 12.若等差数列an满足a7a8a90,a7a100,则当n_时,an的前n项和最大.【答案】8【解析】根据题意知a7a8a93a80,即a80.又a8a9a7a100,a90,当n8时,an的前n项和最大.13.在等比数列an中,已知a1a38,a5a74,则a9a11a13a15_.【答案】3 14.设an是公比为q的等比数列,|q|1,令bnan1 (n1,2,),若数列bn有连续四项在集合53,23,19,37,82中,则6q_.【答案】.9【解析】由题意知,数列bn有连续四项在集合53,23,19,37,82中,说明an有连续四项在集合54,24,18,36,81中,由于an中连续四项至少有一项为负,q1,an的连续四项为24,36,54,81,q,6q9. 15.公差不为0的等差数列an的部分项ak1,ak2,ak3,构成等比数列,且k11,k22,k36,则k4_.【答案】 22【解析】根据题意可知等差数列的a1,a2,a6项成等比数列,设等差数列的公差为d,则有(a1d)2a1(a15d),解得d3a1,故a24a1,a616a1ak4a1(n1)(3a1)64a1,解得n22,即k422.16.设函数f(x)a1a2xa3x2anxn1,f(0),数列an满足f(1)n2an(nN*),则数列an的通项公式为_.【答案】 an 17.若f(n)为n21(nN*)的各位数字之和,如62137,f(6)3710,f1(n)f(n),f2(n)f(f1(n),fk1(n)f(fk(n),kN*,则f2016(4)_.【答案】 5【解析】因为42117,f(4)178,则f1(4)f(4)8,f2(4)f(f1(4)f(8)11,f3(4)f(f2(4)f(11)5,f4(4)f(f3(4)f(5)8,所以fk1(n)f(fk(n)为周期数列.可得f2016(4)5. 18.数列an满足a1a2a3an2n5,则an_.【答案】 an【解析】a1a2an2n5.a1a2an12(n1)5.由得an2,an2n1 (n2).又a125,a114.an19.对于正项数列an,定义Hn为an的“光阴”值,现知某数列的“光阴”值为Hn,则数列an的通项公式为_.【答案】 an 20.已知数列an满足a1且an1ana(nN*).(1) 证明:12(nN*);(2)设数列a的前n项和为Sn,证明:(nN*).【解析】证明(1)由题意得an1ana0,即an1an,故an.由an(1an1)an1得an(1an1)(1an2)(1a1)a10.由0an得(1,2,即12成立.(2)由题意得aanan1,所以Sna1an1,由和12得12,所以n2n,因此an1(nN*).由得(nN*).21.已知an是等差数列,满足a13,a412,数列bn满足b14,b420,且bnan为等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)求数列bn的前n项和. 22.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5.(1)求数列bn的通项公式;(2)数列bn的前n项和为Sn,求证:数列是等比数列.【解析】(1)解设成等差数列的三个正数分别为ad,a,ad.依题意,得adaad15. 23在公差不为零的等差数列an中,已知a11,且a1,a2,a5依次成等比数列数列bn满足bn12bn1,且b13.(1)求an,bn的通项公式;(2)设数列的前n项和为Sn,试比较Sn与1的大小【解析】:(1)设数列an的公差为d.因为a11,且a1,a2,a5依次成等比数列,所以aa1a5,即(1d)21(14d),所以d22d0,解得d2(d0不合要求,舍去)所以an12(n1)2n1.因为bn12bn1,所以bn112(bn1)所以bn1是首项为b112,公比为2的等比数列所以bn122n12n.所以bn2n1.在校园的时候曾经梦想去桂林,到那山水甲天下的阳朔仙境,漓江的水呀常在我心里流,去那美丽的地方是我一生的期望,有位老爷爷他退休有钱有时间,他给我描绘了那幅美妙画卷,刘三姐的歌声和动人的传说,亲临其境是老爷爷一生的心愿,我想去桂林呀,我想去桂林,可是有时间的时候我却没有钱,我想去桂林呀,我想去桂林,可是有了钱的时候我却没时间9
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