专题09 三角恒等变换与解三角形 文【考向解读】 正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，1.和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力2.预测2017年高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，复习时应引起足够的重视3.边和角的计算；4.三角形形状的判断；5.面积的计算；6.有关的范围问题 【命题热点突破一】三角恒等变换例1、(1)(2016高考全国乙卷)已知是第四象限角，且sin，则tan_.【答案】：速解法：由题意知为第一象限角，设，tantantan.【答案】：【解析】如图，不妨设在RtACB中，A，由sin 可得，BC3，AB5，AC4，B，tan B，tan B. (2)若tan 0，则()Asin 0Bcos 0Csin 20 Dcos 20【答案】：C【感悟提升】 解决三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的在三角函数问题中变换的基本方向有两个：一个是变换函数名称，一个是变换角的形式变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系等；变换角的形式可以使用两角和、差的三角函数公式、倍角公式，对角进行代数形式的变换等【变式探究】 (1)已知sin，那么cos 2_(2)已知sinsin ，则cos等于()A B C. D.【答案】（1）（2）A【解析】 （1）依题意得cos ，所以cos 22cos2121.（2）由sinsin ，得sin，则sin，于是coscossin.【命题热点突破二】正、余弦定理例2、【2016高考山东理数】（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （）证明：a+b=2c;（）求cosC的最小值.【答案】（）见解析；（）【解析】【感悟提升】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口求三角形中的角，关键是利用正弦定理或余弦定理求出某角的正弦值或余弦值，再根据角的范围求出对应的角的大小解题时要注意利用三角形内角和定理，即ABC.【答案】【解析】 0，ccos B2acos Cbcos C0，由正弦定理得sin Ccos B2sin Acos Csin Bcos C0，sin（BC）2sin Acos Csin A2sin Acos C0，sin A0，cos C，C. 【变式探究】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且csin Bbcos C3.(1)求b；(2)若ABC的面积为，求c.【解析】 【感悟提升】 求解三角形的边和面积的关键是利用正、余弦定理求出相关角度和边长正弦定理揭示了三角形三边和其对角的正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系正弦定理可以使各边的比值和各个内角的正弦的比值相互转化只要知道了三角形三边之间的比例关系即可利用余弦定理求出三角形的内角【命题热点突破三】正、余弦定理的实际应用例3、已知一块四边形园地ABCD中，A45，B60，C105.若AB2 m，BC1 m，则该四边形园地ABCD的面积等于_m2.【答案】【解析】 如图所示，连接AC.根据余弦定理可得AC m，易知ABC为直角三角形，且ACB90，BAC30，所以DAC15，DCA15，故ADC为等腰三角形.设ADDCx m，根据余弦定理得x2x2x23，即x23（2）.所以四边形园地ABCD的面积为13（2） m2. 【感悟提升】 使用正、余弦定理解三角形的关键是把求解目标归入到可解三角形中(可解三角形指符合正弦定理、余弦定理的应用条件，能够求出三角形各个元素的三角形)，在一些复杂的问题中，需要把求解目标分解到两个或者更多个可解三角形之中【变式探究】如图所示，一学生在河岸紧靠河边笔直行走，在A处时，经观察，在河对岸有一参照物C与学生前进方向成30角，学生前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75角，则河的宽度为()A50(1)m B100(1)mC50 m D100 m【答案】A【解析】 在ABC中，BAC30，ACB753045，AB200，由正弦定理得BC100 （m），所以河的宽度为BCsin 75100 50（1）（m）.【命题热点突破四】正、余弦定理解具有空间结构的三角形综合问题例4、如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30 的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度CD_m.【答案】100 【解析】【感悟提升】解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求【变式探究】如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45，以及MAC75，从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.【答案】150【解析】 在RtABC中，BC100，CAB45，所以AC100 .在MAC中，MAC75，MCA60，所以AMC45，由正弦定理有，即AM100 100 ，于是在RtAMN中，有MNsin 60100 150. 【易错分析】 对于求解有空间结构的三角形问题，有两个易错点：一是方位角的确定；二是选择合适的三角形，并在相关三角形中进行边和角的转换【高考真题解读】1.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D 2.【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）(A) (B) (C) 1 (D) 【答案】A【解析】由，得或，所以，故选A3.【2016年高考四川理数】= .【答案】【解析】由二倍角公式得1.【2016高考新课标3理数】在中，边上的高等于,则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】 2.【2016高考新课标2理数】的内角的对边分别为，若，则 【答案】【解析】因为，且为三角形的内角，所以，又因为，所以.3.【2016高考天津理数】在ABC中，若,BC=3， ,则AC= （ ）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】A【解析】由余弦定理得,选A.4.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是 .【答案】8.【解析】，又，因即最小值为8.1.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.（I）证明：；（II）若，求.【答案】（）证明详见解析；（）4.【解析】 2.【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B.（I）证明：A=2B；（II）若ABC的面积，求角A的大小.【答案】（I）证明见解析；（II）或【解析】 3.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （）证明：a+b=2c;（）求cosC的最小值.【答案】（）见解析；（）【解析】（）由题意知，化简得，即.因为,所以.从而.由正弦定理得.（）由（）知,所以 ，当且仅当时，等号成立.故 的最小值为.1.【2015高考四川，理12】 .【答案】. 2.【2015高考浙江，理11】函数的最小正周期是 ，单调递减区间是 【答案】，.【解析】，故最小正周期为，单调递减区间为，.3.【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(I); (II) ,. (II)因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，所以在区间上的最大值为，最小值为.4.【2015高考重庆，理18】 已知函数 （1）求的最小正周期和最大值； （2）讨论在上的单调性.【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）在上单调递增；在上单调递减.【解析】 5.【2015高考上海，理14】在锐角三角形中，为边上的点，与的面积分别为和过作于，于，则 【答案】【解析】由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此6.【2015高考广东，理11】设的内角，的对边分别为，若， ，则 . 【答案】1【解析】因为且，所以或，又，所以，又，由正弦定理得即解得，故应填入17.【2015高考湖北，理12】函数的零点个数为 【答案】2 8.【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_.【答案】【解析】由正弦定理得，即，解得，从而，所以，.9.【2015高考福建，理12】若锐角的面积为 ，且 ，则 等于_【答案】7【解析】 10.【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍() 求；()若，求和的长 【答案】()；()【解析】()，因为，所以由正弦定理可得()因为，所以在和中，由余弦定理得，由()知，所以在校园的时候曾经梦想去桂林，到那山水甲天下的阳朔仙境，漓江的水呀常在我心里流，去那美丽的地方是我一生的期望，有位老爷爷他退休有钱有时间，他给我描绘了那幅美妙画卷，刘三姐的歌声和动人的传说，亲临其境是老爷爷一生的心愿，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有时间的时候我却没有钱，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有了钱的时候我却没时间15