2 .逻辑代数与硬件描述语言基础2 .逻辑代数与硬件描述语言基础 2.1 逻辑代数 2.2 逻辑函数的卡诺图化简法 2.3 硬件描述语言 2.1 逻辑代数 2.2 逻辑函数的卡诺图化简法 2.3 硬件描述语言Verilog HDL基础基础 教学基本要求教学基本要求 1、熟悉逻辑代数常用基本定律、恒等式1、熟悉逻辑代数常用基本定律、恒等式 和规则。和规则。 2、掌握逻辑代数的变换和卡诺图化简法；2、掌握逻辑代数的变换和卡诺图化简法； 3、熟练硬件描述语言3、熟练硬件描述语言Verilog HDL 2.1 逻辑代数2.1 逻辑代数 2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式 2.1.2 逻辑代数的基本规则2.1.2 逻辑代数的基本规则 2.1.3 逻辑函数的变换及代数化简法2.1.3 逻辑函数的变换及代数化简法 2.1 逻辑代数2.1 逻辑代数 逻辑代数又称布尔代数,是英国数学家逻辑代数又称布尔代数,是英国数学家George Boole 在1849年提 出的 在1849年提 出的。它是分析和设计现代数字逻辑电路不可缺少的数学工具。 逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用它们对数学表达式进 行处理，可以完成对逻辑电路的化简、变换、分析和设计。 它是分析和设计现代数字逻辑电路不可缺少的数学工具。 逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用它们对数学表达式进 行处理，可以完成对逻辑电路的化简、变换、分析和设计。 逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。在数 字电路中往往是将事情的条件作为输入信号，而结果用输出信号 表示。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑 逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。在数 字电路中往往是将事情的条件作为输入信号，而结果用输出信号 表示。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑“1 1” 和和“0 0”表示。表示。 1. 基本公式 1. 基本公式 .1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式 A 1 = AA 0 = 0A + 0 = AA + 1 = 10、1律0、1律： A A = 0A + A = 1互补律：互补律： 交换律：交换律： A + B = B + AA B = B A 结合律：结合律：A + B + C = (A + B) + CA B C = (A B) C 分配律： 分配律：A + BC = ( A + B )( A + C )A ( B + C ) = AB + AC 重叠律：重叠律： A + A = AA A = A 反演律：反演律：AB = A + BA + B = A B AA BAB+() ()ABACABC+ ABAA+AABA+()吸收律吸收律 其它常用恒等式其它常用恒等式 ABACBCAB + AC ABACBCDAB + AC 2、常用公式2、常用公式 ABAA+ AA BAB+ AABA+()A B + A B = A BABABAL += A 0 = A A 1 = A + + ABBABAP+ += = = A 0 = A A 1 = A AB = A + BA + B = A B 3、基本公式的证明3、基本公式的证明 例证明例证明ABA B+=ABA B=+ ， (真值表证明法)(真值表证明法) 列出等式、右边的函数值的真值表列出等式、右边的函数值的真值表 011 = 001+1=00 01 1 110 = 101+0=00 11 0 101 = 100+1=01 00 1 100 = 110+0=11 10 0 A+BA+BA BA B AB A B ， ， 2.1.2 逻辑代数的基本规则2.1.2 逻辑代数的基本规则 1.代入规则 2. 反演规则 3. 对偶规则 1.代入规则 2. 反演规则 3. 对偶规则 1.代入规则1.代入规则： 在包含变量A逻辑等式中，如果用另一 个函数式代入式中所有 ： 在包含变量A逻辑等式中，如果用另一 个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规 则称为代入规则。 例： 的位置，则等式仍然成立。这一规 则称为代入规则。 例：B (A + C)= = BA+BC， 用用A + D代替A，得代替A，得 B (A +D) +C = B(A +D) + BC = BA + BD + BC 代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围 对于任意一个逻辑表达式L，若将其中所有的与（对于任意一个逻辑表达式L，若将其中所有的与（ ）换成或 （+），或（+）换成与（ ）换成或 （+），或（+）换成与（）；原变量换为反变量，反变量换为原 变量；将1换成0，0换成1；则得到的结果就是原函数的反函数。 ）；原变量换为反变量，反变量换为原 变量；将1换成0，0换成1；则得到的结果就是原函数的反函数。 2. 反演规则：2. 反演规则： 。，求 例1 已知。，求 例1 已知 F CD+ 0BAF +=+= 解 解 用反演规则 用反演规则 可得可得()()()()DCBAF+= 1+=1 ( () )( () ) DCBACDBACDBAF+=+=+=+= 用反演律用反演律,则则 。，求 已知 例。，求 已知 例FEDCBAF+ + + += = 52 解 由反演规则，可得 解 由反演规则，可得 ) (EDCBAF+=+= 注意运算的先后顺序注意运算的先后顺序 对于反变量以外的 非号应保留不变。 对于反变量以外的 非号应保留不变。 LABAC = + 对于任何逻辑函数式，若将其中的与（对于任何逻辑函数式，若将其中的与（ ）换成或（+），或（+） 换成与（ ）换成或（+），或（+） 换成与（）；并将1换成0，0换成1；那么，所得的新的函数式就 是L的对偶式，记作。 ）；并将1换成0，0换成1；那么，所得的新的函数式就 是L的对偶式，记作。 L ()()LAB A C=+例例 3. 对偶规则：3. 对偶规则： 反演律反演律8 分配律分配律A + B C= (A + B) (A + C)A (B + C) = A B +A C7 结合律结合律A + ( B + C)= (A + B) +CA (B C) = (A B) C6 交换律交换律A + B = B + AA B = B A5 互补律互补律4 重叠律重叠律A + A =AA A = A3 A + 0 =AA 1 = A2 0、1律0、1律A + 1=1A 0 = 01 名称名称公式公式b公式公式a序号序号 ABAB=+ ABAB+= AA0=AA1+= 常见的几种逻辑函数表达式常见的几种逻辑函数表达式 LA C DAADCD=+“与或与或” 式式 2.1.3 逻辑函数的变换与代数法化简2.1.3 逻辑函数的变换与代数法化简 1.常见的几种逻辑函数表达式及其相互变换1.常见的几种逻辑函数表达式及其相互变换 a.常见的几种逻辑函数表达式a.常见的几种逻辑函数表达式 “与或与或”式式 LACCD=+ “或与或与”式式L(AC)(CD)=+ LACCD=“与非与非与非与非”式式 LACCD=+ “与非或非与非或非” 式式 L(AC)(CD)=+ “或非或非或非或非” 式式 “与或非与或非”式式 LACCD=+ 2、逻辑函数的变换2、逻辑函数的变换 将逻辑函数与或式变换与非-与非表达式将逻辑函数与或式变换与非-与非表达式 1 LACC D=+ 例1 用与非门实现逻辑函数L1，例1 用与非门实现逻辑函数L1， （1）适应所使用器件的情况:（1）适应所使用器件的情况: 方法：方法：将逻辑函数两次求反后用摩根定律将逻辑函数两次求反后用摩根定律 ACCD= 1 LAC CD=+ 1 LAC CD=+ 用与非门实现逻辑函数用与非门实现逻辑函数 例2、用或非门实现逻辑函数 与或式转换为或非-或非式 例2、用或非门实现逻辑函数 与或式转换为或非-或非式 L2= AC + CD 方法：方法：1、将每个乘积两次求反后，用摩根定律；将每个乘积两次求反后，用摩根定律； = A+C + C+D =AC + CDL2= AC + CD 2、两次求反。2、两次求反。 L2=A+C + C+D 用或非门实现用或非门实现 (2)简化电路:(2)简化电路: 3 LDAC=+ 用逻辑门实现函数用逻辑门实现函数L L3 3 需要与非门和或非门 两块芯片 需要与非门和或非门 两块芯片 3 LDAC=+DAC= 只用一块与非门芯片只用一块与非门芯片 转换转换为与非-与非式为与非-与非式 化简的意义：化简的意义：用化简后的表达式构成逻辑电路，可节省器 件，降低成本，提高工作的可靠性。 用化简后的表达式构成逻辑电路，可节省器 件，降低成本，提高工作的可靠性。 2.1.3 逻辑函数的代数化简法2.1.3 逻辑函数的代数化简法 简化标准 简化标准(最简的与或表达式最简的与或表达式) 乘积项的个数最少(与门的个数少）; 每个乘积项中包含的变量数最少（与门的输入端个数少）。 。 乘积项的个数最少(与门的个数少）; 每个乘积项中包含的变量数最少（与门的输入端个数少）。 。 化简的主要方法：化简的主要方法： 公式法（代数法）； 图解法（卡诺图法）； 公式法（代数法）； 图解法（卡诺图法）； 常见的几种逻辑函数表达式常见的几种逻辑函数表达式 1 A B C 1 L & & 1 L=B+C B C 1 1 BCBBB)(AL+=+= CBL+= += BCBBBBAL+=+= BC1)(ABL+=+= BCBL+=+= B)(A+ + B BC BB)(A+ + BCBBB)(A+ 化简后使电路简单，可靠性提高。化简后使电路简单，可靠性提高。 器件少、连线少，故障出现几率低，电路可靠性高器件少、连线少，故障出现几率低，电路可靠性高 常见的几种逻辑函数表达式常见的几种逻辑函数表达式 1AA+=代数化简法： 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。 代数化简法： 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。 方法：方法：并项法: 吸收法： 并项法: 吸收法：A + AB = A CBA CBAL+=+=BACCBA=+=+=)( 2.1.3 逻辑函数的代数化简与化简法2.1.3 逻辑函数的代数化简与化简法 BAFEBCDABAL=+=+=)( 消去法消去法：BABAA+ += =+ + CBCAABL+=+= ABBA= =+ + CBAAB)(+=+= 1= =+ + AA CABAB+=+=CAB+ += = 配项法配项法： A+AB=A+B CBCAABL+=+= CBAACAAB)(+=+= CBACABCA=AB+ )()(BCACACABAB+=+= CA=AB+ + 例 用最少的与非门实现逻辑函数例 用最少的与非门实现逻辑函数L CDBADCBAABDDBADABL+= )()(CCDBADBADDABL+= DBADBA=AB+ )(DDBAAB+=BAAB += BAAB +=BAAB= 1 & & 1 1 B A L AB BA (a) 最简与或式逻辑图最简与或式逻辑图 B A L AB BA (b) & & & & & 与非-与非式逻辑图与非-与非式逻辑图 最简与或式最简与或式 与非-与非式与非-与非式