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1 多变量函数的极限与连续性主要知识点、 结论、 典型例题多变量函数的极限与连续性主要知识点、 结论、 典型例题 . 1. n R中集合的基本概念和性质中集合的基本概念和性质 定义定义 1.1 设 n ER,( ),0, r AErBAE ,则 A 为 E 的内点。E 的内点的集合记为 0 E,若 0 EE=,称 E 为开集。 定理定理 1.1 对于任何集合 E, 0 E为开集. 定理定理 1.2 开集有如下运算性质: 1) , n R为开集 2) 设,EI 为开集,则 I E 为开集,这里 I 为指标集合. 3) 设 ,1,2,. i Ein=为开集,则 1 n i i E = 为开集。 定义定义 1.2 设, nCn ERERE=为 E 的补集。 由定义由定义 1.2,有,有 , nCn EREER=。 定理定理 1.3 假设为指标集合, 则下面结论成立. 1.;2. cc cc EEEE = 定义定义 1.3 设, nC ERE为开集,则称 E 为闭集。 定理定理 1.4 1) 设,EI 为闭集,则 I E 为闭集。 2) 设 ,1,2,. i Ein=为闭集,则 1 n i i E = 为闭集。 定义定义 1.4 (聚点), nn ERAR若对于任意0r ,总有 r BA 中有 E 中的点,则 A 为 E 的聚点。 定义定义 1.5 集合 E 的所有聚点的集合为导集,记为 . E 定理定理 1.6 E 为闭集的充分必要条件 EE。 定义定义 1.6 定义集合的外点和边界:点集合 n ER,( ) 0 c E中的点为 E 的外点,E 的外点的 全体为 E 的外部,既不是 E 的外点,也不是 E 的内点,称为 E 的边界,记为E 2 对于任何集合 E,显然都有: () 0 0nc REEE= 定义定义 1.7 若非空的开集 E 是连通的,即 E 中任意两点之间可以有一条完全含于 E 的不间断曲 线连接,则称 E 为开区域. 定义定义 1.8 开区域连同边界所组成的区域为闭区域. 典型例题典型例题 例 1:判断下列点集是开集,闭集,有界集,区域,导集,边界 ) () () () () 1),; 2),0 ; 3),0 ; 4),; 1 5),sin,0 Ea bc d Ex y xy Ex y xy Ex y x y Ex yyx x = = = = = 均为整数 解: 1) 即不是开集,也不是闭集,有界集,是区域,边界是矩形的四条边. ,Ea bc d=; 2) E 为开集,无界集,不是区域, 2 ER=,边界0,0xy=或者; 3) E 不是开集, 是闭集, 无界集合,不是区域, EE=, 边界EE=; 4) E 不是开集, 是闭集, E为空集, EE= ; x y o 图 2.3 例 1 中 4)的示意图 5) E 不是开集, 不是闭集, 无界,不是区域, 3 图 2.4 例 1 中 4)的示意图 ()() 1 ,sin,00, 11Ex yyxxy x = x,y ()() 1 ,sin,00, 11Ex yyxxy x = x,y 2 n R中的点列的极限中的点列的极限 定义定义 2.1 设( ),0,0 n r ERrEB ,也即是 E 集合中的向量都属于( )0 r B,则称集合 E 有界. 定义定义 2.2 设,1,2,3,. n i AXR i=, 若0,0, m NNNmNXA 因此 11 1 , m mkkk k XXXX + = 有: ()fXl 有 3) 函数极限的保序性:若 ()lim,0, XA fXl l =0,XBA 有f(x)0; 4) 函数极限的保序性:若0,XBA 有f(x)0,并且()lim XA fXl =, 则0l 。 定理定理 3.2 假设假设()()lim, lim, XAXA fXlg Xm =则由下面结论成立: 1) ()()()lim XA fXg Xlm += +; 2) () ()()lim; XA fX g Xlm =; 3) () () lim,0 XA fXl m g Xm = 。 定理定理 3.3 (夹逼定理)(夹逼定理) 假设0,XBA 有f(x) h(x) g(x),并且 ()()lim, lim, XAXA fXlg Xl =则lim xA h(x)=l。 定理定理 3.4(归结原理)假设(归结原理)假设 n DR,:fDR, AD,()lim XA fXl = D 中任何收 敛于 A 的点列,且,1,2,. i XA I=若lim, i i XA =都有:()lim i i fXl = 定理定理 3.5(柯西定理)(柯西定理) n DR,:fDR, AD,()lim XA f Xl =的充要条件 1212 0,0,0,0XXDXAXA 有: ()() 0 fXf P这里仅与有关 ()() 121212 ,XXD XXfXfX ()() 1212120 , nnnnnnn XXD XXfXfX与假设矛盾。 反之,f在 E 上一致连续,则 ( )()() 121212 0,0,XXD XXfXfX f在() 00 ,xy连续,由局部保号性, ()()()()()()() 0000 ,BxyxBxyf x y,故 E 为开集。 2)任取() 00 ,xyE则()()() 000 ,lim, kkkkkk k pxyEpxypxy =,又由于 ()() 0 , kk f xyfp ,因此() 000 ,pxyE,因此 E 为闭集。 例 7:设 , kk XY为 n R的两个柯西序列,则数列 kk XY收敛。 11 证明:利用不等式:abab,有: kkmmkKmmkmkm XYXYXYXYXXYY+ 再利用柯西序列的定义可以证明。 例 7:设(),f x y定义在 ,a bc d,且连续,( )1,2,3, k xk=在, a b上一致连 续, 且( ),1,2,3 k cxd k=, 证明:( )( )(),1,2,3,. kk Fxf xxk=在, a b 上一致收敛。 证明:因为(),f x y在 ,a bc d连续,故一致收敛,因此 ( ) ()() 121212 0,0,XXa bc dXXfXfX 因此 12 min, 22 = (),x yD, () ()()() 22 0000 ,x yxyxxyy=+ ()() 00 ,f x yf xy。得证。 12
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