博士家园考研丛书 （2010 版） 全国重点名校数学专业考研真题及解答 数学分析与高等代数 考研真题详解 苏州大学数学专卷 苏州大学数学专卷 博士家园 编著 博士家园 编著 博士家园系列内部资料 博 士 家 园 数 学 专 业 考 研 丛 书 编委会 这是一本很多数学考研人期待已久的参考书， 对于任何一个想通过考取重点院校的研究 生来进一步深造的同学来说， 历年的各个院校的真题的重要性是显而易见的。 为了帮助广大 同学节约时间进行，为了使辅导教师手头有更加详尽的辅导材料，我们从 2004 年开始 大量收集数学专业的考研真题， 其中数学分析和高等代数两门专业基础课最为重要。 有些试 题还很难收集或者购买，我们通过全新的写作模式，通过博士家园( ), 这个互联网平台，征集到了最新最全面的专业试题，更为令人兴奋和鼓舞的是，有很多的高 校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审 稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无 闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意！ 国际数学大师陈省身先生提出： “要把中国建成 21 世纪的数学大国。 ”每年有上万名数 学专业的学生为了更好的深造而努力考研， 但是过程是艰难的。 我们为了给广大师生提供更 多更新的信息与资源建立了专业网站博士家园网站。 本站力图成为综合性全国数学信息 交换的门户网站， 旨在为科研人员和数学教师服务， 提供与数学研究和数学教学有关的一切 有价值的信息和国内外优秀数学资源检索，经过几年的不懈努力，成为国内领先、国际一流 的数学科学信息交流中心之一。 由于一般的院校可能提供一些往年试题， 但是往往陈旧或者 没有编配解答， 很多同学感到复习时没有参照标准， 所以本丛书挑选了重点名校数学专业的 试题，由众多编委共同编辑整理成书。在此感谢每一位提供试题的老师，同时感谢各个院校 的教师参与解答。以后我们会继续更新丛书，编入更新的试题及解答，希望您继续关注我们 的丛书系列。也欢迎您到博士家园数学专业网站参加学术讨论，了解考研考博，下载最新试 题： 博士家园主页网址： 博士数学论坛网址： 数学资源库: 欢迎投稿，发布试题，对于本书疏漏之处欢迎来信交流，以促改正：www.boss www.boss 博士家园 二零一零年二月 2 博士家园系列内部资料 数学分析与高等代数考研真题详解数学分析与高等代数考研真题详解 苏州大学考研数学专卷苏州大学考研数学专卷 目录目录 苏州大学考研数学专卷.2 2000 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题及解答 2001 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答 2001 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题及解答 2002 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题 2002 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答 2003 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题(A,B 卷)及简单解答 2004 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答 2004 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题及解答 2005 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题 B 卷 2005 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答 2006 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题 2006 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题 2007 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题及解答 2010 年招收硕士研究生入学考试高等代数回忆版 苏州大学考研数学专卷 苏州大学 2000 研究生入学考试高等代数 1 （14 分）设 f (x),g (x),h (x)都是数域 P 上的一元多项式，并且满足： 4 (1) ( )(1) ( )(2) ( )0xf xxg xxh x+= xf xxg xxh x+ （1） 4 (1) ( )(1) ( )(2) ( )0= （2） 证明：能整除。 4 1x +( )g x 证明： 1 (2)(1):2 ( )4 ( )0( )( ) 2 g xh xh xg x+= （3） 将（3）带入（1）中，得到： 4 1 (1) ( )( 2 )xf xxg x+= 2 博士家园系列内部资料 44 1( )xxxg+1与 互素，x 2 （14 分）设 A 是 nr 的矩阵，并且秩（A）= r，B，C 是 rm 矩阵，并且 AB=AC，证 明：B=C。 证明： ,()0ABACA BC=. ( ),An rR ArA= 是的矩阵,是列满秩的矩阵，即方程0AX = 只有零解 0,BCBC=即 3（15 分）求矩阵的最大的特征值 321 222 361 A = 0 ，并且求 A 的属于 0 的特征子空 间的一组基。 解：() () 2 24EA=+ 0 2，= 当 0 2=时，求出线性无关的特征向量为()() 12 101012=， ， ， L 构成 的特征子空间 则() 120 , 12 ，是 0 的特征子空间的一组基 (14 分)设-2,3,-1是3 3矩阵的特征值，计算行列式611 n AAE+ 3 解：-2,3,-1是3 3矩阵的特征值，不妨设 123 2,3,1,= = 则矩阵611 n AAE+ 3 对应的特征值为： 123 15,20,16= 故61115 20 164800 n AAE+= 3 (14 分)设 A,B 都是实数域 R 上的n n矩阵,证明:AB,BA 的特征多项式相等 证明：要证明 AB,BA 的特征多项式相等，只需证明：EAEB= 利用构造法，设0，令 1 EB H AE = ， 1 1 0 1 0 EB EEB AE AEEAB = ，两边取行列式得 11 ()nHEABEA =B （） 3 博士家园系列内部资料 11 0 0 E 1 EBEBA AE B AEE = ，两边取行列式得 11 ( )nHEBAEB =A （） 由（） ， （）两式得 1 ()nEAB 1 ( )nEBA EABEBA= （） 上述等式是假设了0，但是（）式两边均为的 n 次多项式，有无穷多个值使它们成 立（0） ，从而一定是恒等式 注：此题可扩展为是矩阵，是nm nm矩阵，的特征多项式有如下关系： nm m EABEBA = n ，这个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester）公式 (14 分)设 A 是实对称矩阵,证明：n n 2 57 n AAE+是一个正定矩阵 证明：A 是实对称矩阵，则的特征值均为实数 设为的任意特征值，则 2 57 n AAE+的特征值为 22 53 57() 24 0=+=+ 故 2 57 n AAE+是一个正定矩阵 (15 分)设 A 是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的一个线性变换,设 1 , n VA 使0,但是 () n A=0, 其中n1证明： 2 , n AAA 1 是的一组基并且求线性变换在 此基下的矩阵，以及的核的维数 证明：令 1nn AA 0,=0.() () 1 011 0 n n llAlA += 0 （） 用左乘（）式两边，得到 1n A 1 0( ) n lA = 由于， 1n A 0 0 0l=，带入（）得() () 1 11 0 n n lAlA += （） 再用左乘（）式两端，可得 2n A 1 0l = 这样继续下去，可得到 011 0 n lll = 2 , n AAA 1 线性无关 4 博士家园系列内部资料 21 , n AAAA) ( 21 ,) n AAA 0000 1000 0100 0010 ( 在此基下的矩阵为， 0000 1000 0100 0010 可见,( )1R An=,dimker(1)1Ann= 即 A 的核的维数为 1 苏州大学苏州大学 2001 年数学分析试题及解答年数学分析试题及解答 ) ) ) 1.(15)( ), 1lim( )( ), 2( ),lim( ) lim( )lim( )( ,( ) 2 ,( )() x x xx f xa f xf xa f xaf x f xf xA A MxMf xA x xMxxf xf x + + + + + + = = + = n=1 (k) a,b,有 令 而收敛x a,b， 因此 收敛 从而在a,b上一致收敛，由a,b的任意性知，在（，）内连续可微 k0,S x a,b,有 1 (1) ln ( )( 1)1 1 k a k k x n n a n n x n = = + + (k) 用上所证，S在 （，）上一致收敛 从而S(x)在（，）内无穷可微 6 博士家园系列内部资料 222 222 4.(10), 0 2 , 2222 ,0 S V S Ix dydzy dzdxz dxdyS zh h zh S x dydzy dzdxz dxdyxyzdxdydzxyzdxdydz rh + =+=+ += = = =+ +=+=+ 1 222 1 1 S 求曲面积分其中 为锥面zxy 在 部分的下侧。 22 xy 解：令S且方向向上，取向上为正 则令S 他方向向外并且封闭，由高斯公式得 x=rc 令y=rsin 2 224 000 22224 22222244 ,02 22sincos 2 22 hr S xyzdxdydzddrrrzrdzh x dydzy dzdxz dxdyh dxdyh 4 Ix dydzy dzdxz dxdyx dydzy dzdxz dxdyhhh + +=+= += =+= 1 11 1 S SS S os 2 1 1 0 1 2 0 2 1 2 1 2 2 1 1 5.(15)01 ( ) 2 2 3 4 2cos () 14 ( )cos 3() 0,(0)1 14 1cos 3() 1 6 n n n n n n f x dx an xdx n f xn x n xf n x n n = = = = = = + = =+ = 2 2 0 2 在（ ， ）上把f(x)=(x-1)展成余弦级数并且求 解：把进行周期延拓（偶延拓） a(x-1) (x-1)? 从而 令则 7 博士家园系列内部资料 2 11 2 11 1 1 6.(10)( , )( , ) 11 2 11 12