习 题 1.1 习 题 1.1 证明由n个元素组成的集合Taaan= 12 ， ，?有2个子集。 n 证明： (1) 任意无限集必包含一个可列子集； (2) 设与AB都是可列集，证明也是可列集。 AB 指出下列表述中的错误： (1) ； 0 = (2)； a , , a b c (3) ,； a b , , a b c (4) ,。 , , a b a b= , a b 用集合符号表示下列数集： (1) 满足 x x + 3 2 0的实数全体； (2) 平面上第一象限的点的全体； (3) 大于 0 并且小于 1 的有理数全体； (4) 方程的实数解全体。 0cotsin=xx 证明下列集合等式： (1) ABDABAD()()()=； (2) ()。 ABAB CC = C 举例说明集合运算不满足消去律： (1) ABAC=BC= ； (2) ABAC=BC=。 其中符号“ ”表示左边的命题不能推出右边的命题。 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。 (1) BAx Ax 并且 Bx ； (2) BAx Ax 或者 Bx 。 习 题 1.2 习 题 1.2 1. 设,=S,，问有多少种可能的映射?其中哪些是双射? Ta b c= , , f：ST 2. (1) 建立区间 ,与 ,之间的一一对应； a b0 1 1 (2) 建立区间( ,与之间的一一对应。 )0 1(, +) 3. 将下列函数和构成复合函数，并指出定义域与值域： fg (1) , yf u=( )logauug x=( )x23; (2) , yf u=( )arcsinuug x=( ) x 3； (3) yf u=( )u21,ug x=( )secx； (4) yf u=( )u,ug x=( ) x x + 1 1 。 4. 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的： (1) y x = + arcsin 1 1 2 ; (2) 3 2 1 log (1) 3 a yx=。 5. 求下列函数的自然定义域与值域： (1) （） ； xy asin log=1a (2) yx=cos； (3) yx=43 2 x； (4) yx x =+ 2 4 1 。 6. 问下列函数和是否等同？ fg (1) f x( ) = 2 log () a x，g x( ) = 2logax； (2) f x( ) = 22 sectanxx, g x( ) = 1； (3) f x( ) =sincos 22 xx+,g x( ) = 1。 7. (1) 设,求； f xxxx()+=+3235 32 1f x( ) (2) 设 13 13 1+ = x x x x f,求。 f x( ) 8. 设f x( )= + 1 1x ,求，,的函数表达式。 ff?ff? fff? f ? f 9. 证明：定义于(,上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和。 ) + 10. 写出折线ABCD所表示的函数关系yf x=( )的分段表示，其中A = ( , )0 3， B =( ,)1 1，C = ( , )32，。 D = ( , )4 0 2 11. 设表示图1.2.8中阴影部分面积，写出函数f x( )yf x=( ), x ,0 2的表达式。 y ( , )1 1 O x 2 x 图 1.2.8 图 1.2.9 12. 一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体，比重分别为13.6，1，0.8克厘米 (图1.2.9)，上 层煤油液体高度为5厘米，中层水液体高度为4厘米，下层汞液体高度为2厘米，试求压 强P与液体深度x之间的函数关系。 13. 试求定义在 ,上的函数，它是 ,与 ,之间的一一对应，但在 ,的任 一子区间上都不是单调函数。 0 10 10 10 1 3