思想 方法 技巧 数 学 证 明 的 作 用 陕西师范大学 罗增儒 本文通过解题分析来说明数学证明的作 用,反过来,又通过数学证明作用的提炼过程 来说明解题分析的作用.首先看一组例题. 一、 解题案例 例1 已知2 x = 5 y = 10,求证 1 x + 1 y = 1. 证明:由2 x = 1010 1 x= 2, 5 y = 1010 1 y= 5. 相乘 10 1 x10 1 y= 25, 即 10 1 x + 1 y= 10. 得 1 x + 1 y = 1. 例2已知3 x = 4 y = 36,求证 2 x + 1 y = 1. 证明:由3 x = 3636 2 x= 9, 4 y = 3636 1 y= 4. 相乘 36 2 x36 1 y= 94, 即 36 2 x + 1 y= 36. 同底比较,得 2 x + 1 y = 1. 例3 已知17 x = 117 y = 100,求证 1 x - 1 y = 1 2 . 证明:由17 x = 100100 1 x= 17, 117 y = 100100 - 1 y= 10 17. 相乘 100 1 x100 - 1 y= 17 10 17 , 即 100 1 x - 1 y= 10 = 100 1 2. 同底比较,得 1 x - 1 y = 1 2 . 二、 解题分析 这可以称为题组训练(或一题多解 ) , 具有 强化题型作用.日后遇到类似问题,可以通过 辨认,提取出同样的方法来解决(模式识别 ) . 比如遇到1993年高考第(16)题,也许能顺利 完成: 例4 设a , b , c都是正数,且3 a = 4 b = 6 c ,那么 A. 1 c = 1 a + 1 b B. 2 c = 2 a + 1 b C. 1 c = 2 a + 2 b D. 2 c = 1 a + 2 b 解:由3 a = 6c3 = 6 c a, 4 b = 6c2 = 6 c 2b. 相乘 6 c a6 c 2b= 32, 即 6 c a + c 2b= 6. 同底比较,得 c a + c 2b = 1, 即 2 c = 2 a + 1 b ,应选B. 应该说,能完成这道高考题已经从例1、 例 2、 例3中获得了某些理解,否则,就不会将 4 b = 6 c , 变为 2 = 6 c 2b. 但是,这些理解还比较朦胧.可能另一些学生, 做过例1、 例2、 例3后仍不会做高考题.因为 他们没有从所做的例题中分析出本质性的方 法.我们以例1为例来作解题分析. 11 解题中进行了哪些步骤?为什么要进 行这样的步骤? 对比题目的条件与结论,我们看到3个差 异: (1)条件是指数形式,结论是分式形式; (3)条件有两个等式,结论是一个等式; (3)条件有数字2、5、10,结论都隐去了. 52中学数学教学参考 2001年第5期 解题的过程是保留相同成分(等式,字母 x、y) ,消除差异的过程,可以分解为3个步骤. 第1步:由结论式中有 1 x 、 1 y 知,应对条件 式作变形,因而进行第一步运算: 2 x = 10, 5 y = 10 10 1 x= 2, 10 1 y= 5. 这就出现了 1 x 、 1 y ,具有消除差异(1)的作 用. 第2步:由结论式有 1 x + 1 y 知,应对两式 相乘,因而进行第二步运算: 10 1 x10 1 y= 25, 即 10 1 x + 1 y= 10. 这就将已知条件的两个等式合并了起来, 并出现 1 x + 1 y ,具有消除差异(2)的作用. 第3步:同底比较,得 1 x + 1 y = 1. 这就隐去了数字2、5、10,并得出结论. 在这三步当中,最本质的是同底比较.回 过头来看例2中把3 x = 36,变为 36 2 x= 9,正 是为了使94 = 36,保证同底;例3中把10变 为100 1 2也是为了保证同底;例4中把4b= 6c 变为2 = 6 c 2b还是为了保证同底.有了同底等式 10 1 x + 1 y= 10, 可得 1 x + 1 y = 1. 而即使改变数据 10 m x + n y= 10, 也可得出 m x + n y =. 并且,只要保持底数相同,其具体数据到 底是2与5、9与4都是非实质的,由此,我们 立即可以作出推广. 21 能进行哪些推广?为什么能进行这样 的推广? (1)底数推广 在例1中,将数字2一般化为字母a ,将数 字5一般化为字母b ,那么数字10应一般化为 ab ,得 命题1 设a 0, b 0,若ax=by=ab 1,则 1 x + 1 y = 1. (2)指数推广 在同底比较中, ab并非只能取指数为1, 也可以为( ab) z ,因而得 命题2 设a 0, b 0,若ax=by= ( ab) z 1,则 1 x + 1 y = 1 z . 在命题1中将x看成 x m ,将y看成 y n ,应 不影响同底比较,这实质上是把a看成 m a ,把 b看成 n b ,此时应有 a x m=b y n=ab m x + n y = 1. 为了使表达式好看一点,我们把 m a看成一 个字母A ,则a变为A m ,于是得 命题3 设a 0, b 0,若ax=by=ambn 1,则 m x + n y = 1. 这时命题3自动包含了命题2. 31 个数推广 由于例1证明中第一、 二步均与等式的个 数无关,我们立即可以把上述各命题从两个字 母推广到多个字母. 命题4 设ai 0,若a1 x1 =a2 x2 = anxn=a1 m1 a2 m2 anmn1,则 m1 x1 + m2 x2 + mn xn = 1. 证明:由已知aixi=a1 m1 a2 m2 anmn,得 aimi= ( a 1 m1 a2 m2 anmn) mi xi. 相乘 a1 m1 a2 m2 anmn = ( a 1 m1 a2 m2 anmn) m1 x1 + mn xn. 同底比较,得 m1 x1 + m2 x2 + mn xn = 1. 这恰好是我们对具体例子中分析出来的 三个步骤. 62中学数学教学参考 2001年第5期 三、 由解题分析看数学证明的作用 解题分析是对3个具体例子的再认识,而 提炼 “证明的作用” 又是对上述 “认识、 再认识” 的再认识.这是一个自我反思、 自我调控的过 程,如此层层深入的认识,正是学会解题、 学会 学习的一个好途径.由上面的分析可以看到, 数学证明有3个主要作用: 11 核实.就是说,数学证明有助于核实真 理.当我们证明了上述各例时,就确信各例均 为真命题.这是证明的第一个作用,但不是惟 一的,甚至还不是最重要的. 21理解.就是说,数学证明有助于增进理 解.我们只有弄懂了一个命题的证明,才能真正 理解该命题的内容.这是证明的第二个作用. 正是通过证明,我们才理解2 x = 10、5 y = 10怎样与 1 x + 1 y = 1联系起来的.它们原先在 数值、 运算、 结构方式上都很不相同,内在联系 更被外在形式深深掩盖着,如果不加以亲自动 手的证明,我们既无法理解它们之间的联系, 更难以记忆与运用.硬着头皮背熟了,也只是 被动的机械学习. 31 发现.就是说,数学证明有助于获得新 的体验,发现新的结论.这是证明的第三个作 用. 我们在几个结构类似的例子证明中,发现 其对数字的依赖是非实质的,对数字的指数的 依赖也是非实质的,对数字的个数的依赖还是 非实质的,因而推广出新的命题.当然,这点 “发现” 对于数学科学来说是微不足道的,但对 数学学习来说,却是既有价值,又很珍贵的. 数学家戴维斯与赫什在合著 数学经验 一书中说过:在最好的情况下,证明通过揭示 事物的核心而增强理解,证明提供新的数学. 初学证明的人变得更加接近新数学的创造.证 明是数学的力量,是这门学科用来赋予定理的 静态断言以活力的电压. 值得注意的是,在日常教学中,常常更关 心证明的第一个作用,而使第二、 第三个作用 流于自发状况.事实上,如果证明仅仅是为了 说服人接受一个结论的话,那么,凭个人的经 验加以说明,引用权威的语录,能举出例子,举 不出反例,结论有用等都可以达到目的.但是, 这一切都谈不上是数学的证明.证明是数学的 特征,我们的数学教学要全面关注数学证明的 三个作用. 以上,我们从几个具体例子的一种证明方 法谈了认识.但是,一题多解是普遍存在的,它 对于 “核实” 来说并非必要,而对于增进理解却 非常有益,并且提供了新发现的空间.我们将 把新的机会、 新的希望留给读者. 四、 留一个巩固性的练习 这组练习由4个问题组成. 问题1 3个正整数中,必有2个正整数 之和能被2整除. 问题2 5个正整数中,必有3个正整数 之和能被3整除. 这两个题目相信读者都能给出证明,“核 实” 是不成问题的.但是理解了吗?获得新启 示了吗?文1沉重透露:在数学教师培训班 中,对下面的问题3“几乎无人能解出”,而华东 版初一新教材中就有这方面的内容. 问题3 任给11个正整数,必有6个数之 和能被6整除. 正是 “几乎无人能解出” 的吸引,华东师大 一位在职博士 “不禁也动手试试”,结果并非想 象的那样,因而写了篇文章(参见文2) ,并提 出:这道题还有更简洁的解法吗?能推广到一 般情况吗?这些发问的实质是,对问题有更深 刻的理解吗?能从本质理解中获得新发现吗? 推广是存在的,文3 ( P.87)叙述为 问题4 任给2n- 1个正整数,必能从中 选出n个,使它们的和能被n整除. 能够独立证明问题4,可以认为已从问题1、 2、3中全面得到 “核实、 理解、 发现” 的三大收获. 参考文献 1 杨灿荣.论中学数学教师的能力素质.数学教育学 报,2000,4 2 程龙海.从一次解题经历谈起.中学数学杂志(高 中 ) , 2001,1 3 罗增儒.数学竞赛引论.西安:陕西师范大学出版 社,2000 72中学数学教学参考 2001年第5期