2.121.1数列预习课本P2527，思考并完成以下问题 (1)什么是数列？什么叫数列的通项公式？ (2)数列的项与项数一样吗？ (3)数列与函数有什么关系，数列通项公式与函数解析式有什么联系？ (4)数列如何分类？分类的标准是什么？ 1数列的概念(1)数列：按照一定次序排列起来的一列数称为数列(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an简记为an点睛(1)数列中的数是按一定顺序排列的因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同的数列(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现例如：1，1,1，1,1，；2,2,2，.2数列的通项公式如果数列的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式点睛同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式3数列与函数的关系从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N(或它的有限子集1,2,3，n)的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式数列作为一种特殊的函数，也可以用列表法和图象法表示4数列的分类(1)按项的个数分类：类别含义有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列(2)按项的变化趋势分类：类别含义递增数列从第二项起，每一项大于它的前一项的数列递减数列从第二项起，每一项小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)数列1,1,1，是无穷数列()(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列()(3)有些数列没有通项公式()解析：(1)正确每项都为1的常数列，有无穷多项(2)错误，虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列(3)正确，某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式答案：(1)(2)(3)2在数列1,0，中，0.08是它的()A第100项B第12项C第10项D第8项解析：选Can，令0.08，解得n10或n(舍去)3数列的通项公式为an则a2a3等于()A70 B28 C20 D8解析：选C由an得a22，a310，所以a2a320.4若数列an的通项满足n2，那么15是这个数列的第_项解析：由n2可知，ann22n，令n22n15，得n5或n3(舍去)答案：5数列的概念及分类典例下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A1，Bsin ，sin ，sin ，sin ，C1，D1,2,3,4，30解析数列1，是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sin ，sin ，sin ，sin ，是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列；数列1，是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4，30是递增数列，但不是无穷数列答案C1有穷数列与无穷数列的判断判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列2数列单调性的判断判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan1，则是递减数列；若满足anan1，则是常数列；若an与an1的大小不确定时，则是摆动数列活学活用给出以下数列：1，1,1，1，；2,4,6,8，1 000；8,8,8,8，；0.8,0.82,0.83,0.84，0.810.其中，有穷数列为_；无穷数列为_；递增数列为_；递减数列为_；摆动数列为_；常数列为_(填序号)解析：有穷数列为；无穷数列为；递增数列为；递减数列为；摆动数列为；常数列为.答案：由数列的前几项求通项公式典例(1)数列，的一个通项公式是_(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式，；3,7，15,31，；2,6,2,6，.解析(1)数列可写为：，分子满足：312,422,532,642，分母满足：5312,8322,11332,14342，故通项公式为an.答案an(2)解：均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，an.正负相间，且负号在奇数项，故可用(1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，an(1)n(2n11)为摆动数列，一般求两数的平均数4，而242,642，中间符号用(1)n来表示an4(1)n2或an给出数列的前几项，求通项时，注意观察数列中各项与其序号的变化关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下4个方面来考虑：(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系(2)若n和n1项正负交错，那么符号用(1)n或(1)n1或(1)n1来调控(3)熟悉一些常见数列的通项公式(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳活学活用写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，；(2)1，3,5，7,9，；(3)1，2，3，4，；(4)1,11,111,1 111，.解：(1)观察数列中的数，可以看到011,341，891,15161,24251，所以它的一个通项公式是ann21.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an(1)n1(2n1)(3)此数列的整数部分1,2,3,4，恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为ann.(4)原数列的各项可变为9，99，999，9 999，易知数列9,99,999,9 999，的一个通项公式为an10n1.所以原数列的一个通项公式为an(10n1).判定数列中项的问题典例已知数列an的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍(1)求这个数列的第4项与第25项；(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？解(1)由题设条件，知an2n.a42410，a2522555.(2)假设253是这个数列中的项，则2532n，解得n121.253是这个数列的第121项假设153是这个数列中的项，则1532n，解得n72，这与n是正整数矛盾，153不是这个数列中的项已知数列an的通项公式，判断某一个数是否是数列an的项，即令通项公式等于该数，解关于n的方程，若解得n为正整数k，则该数为数列an的第k项，若关于n的方程无解或有解且为非正整数解则该数不是数列an中的项活学活用数列1，则是该数列的()A第127项B第128项C第129项 D第130项解析：选B把该数列的第一项1写成，再将该数列分组，第一组一项：；第二组两项：，；第三组三项：，；第四组四项：，；容易发现：每组中每个分数的分子、分母之和均为该组序号加1，且每组的分子从1开始逐一增加，因此应位于第十六组中第八位由12158128，得是该数列的第128项层级一学业水平达标1有下面四个结论：数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数；数列的项数一定是无限的；数列的通项公式的形式是唯一的；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，不存在通项公式其中正确的是()ABCD解析：选A结合数列的定义与函数的概念可知，正确；有穷数列的项数就是有限的，因此错误；数列的通项公式的