课后提升训练 八 二项式定理(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017大连高二检测)二项式的展开式中常数项是()A.第4项B.24C.D.2【解析】选B.通项Tk+1=x6-k=2k,由6-k=0k=4,常数项是T5=24.2.(2015陕西高考)二项式(x+1)n(nN*)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.5B.6C.8D.10【解析】选B.二项式(x+1)n(nN*)的展开式中的通项为Tk+1=xn-k,令n-k=2,得k=n-2,所以x2的系数为=15,解得n=6.3.若x+x2+xn能被7整除,则x,n的值可能为()A.x=4,n=3B.x=4,n=4C.x=5,n=4D.x=6,n=5【解题指南】整除问题往往是利用二项式定理逆推,整除问题也是二项式定理重要的应用.利用二项式定理把x+x2+xn化成二项式的形式,然后对照处理.【解析】选C.由二项式定理可得:x+x2+xn=(1+x)n-1,观察选项可知:当x=5,n=4时,(1+x)n-1=64-1=3537能被7整除.4.展开式中的中间两项为()A.-x12,x12B.x9,-x10C.-x13,x9D.x17,-x13【解析】选C.因为n=11,所以展开式中的中间两项为第6、7项,故选C.5.(2015湖南高考)已知的展开式中含的项的系数为30,则a=()A.B.-C.6D.-6【解析】选D.通项为Tk+1=()5-k=(-a)k,由=,得k=1,即-a=30,所以a=-6.6.(2017西安高二检测)设f(x)是展开式的中间项,若f(x)mx在区间,上恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-,5)B.(-,5C.(5,+)D.5,+)【解析】选D.由题意知f(x)=x6=x3mx,得mx2在上恒成立,所以m5.7.若=(nN*),且(2-x)n=a0+a1x+a2x2+anxn,则a0-a1+a2-+(-1)nan等于()A.81B.27C.243D.729【解析】选A.由=可知n=4,令x=-1可知a0-a1+a2-+(-1)nan=81.8.的展开式中的常数项为a,则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为()A.B.9C.D.【解析】选C.设的展开式的通项公式为Tr+1=x-(3-r)x2r=x3r-3,令3r-3=0,得r=1,故展开式的常数项为a=3,则直线y=ax即y=3x,由求得直线y=ax与曲线y=x2围成交点坐标为(0,0),(3,9),故直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为(3x-x2)dx=.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016山东高考)若的展开式中x5的系数是-80,则实数a=_.【解析】写出二项式的通项Tr+1=an-r,这里n=5,令10-r=5,则r=2,所以a3=-80,所以a=-2.答案:-210.(2017浙江高考)已知多项式=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5,则a4=_,a5=_.【解析】因为多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5,a4为x1项的系数,所以根据二项式定理得a4=1222+132=16,a5是常数项,所以a5=1322=4.答案:164三、解答题11.(10分)(2015浙江高考)已知n为正整数,在(1+x)2n与(1+2x3)n展开式中x3项的系数相同,求n的值.【解析】(1+x)2n中x3项的系数为,(1+2x3)n中x3项的系数为2n,由=2n,得=2n,即2n2-3n-2=0,解得n=2.【能力挑战题】求的展开式中的常数项.【解析】因为=,所以展开式的通项为Tr+1=(-1)r(r=0,1,2,5).当r=5时,T6=(-1)5=-1.当0r5时,的展开式的通项为Tk+1=x5-r-k=x5-r-2k(k=0,1,2,5-r).欲求常数项,令5-r-2k=0,即r+2k=5.因为0r5,且k,rN*,所以r只能取1或3,相应的k值分别为2或1,即或所以常数项为(-1)1+(-1)3+(-1)=-51.在校园的时候曾经梦想去桂林，到那山水甲天下的阳朔仙境，漓江的水呀常在我心里流，去那美丽的地方是我一生的期望，有位老爷爷他退休有钱有时间，他给我描绘了那幅美妙画卷，刘三姐的歌声和动人的传说，亲临其境是老爷爷一生的心愿，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有时间的时候我却没有钱，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有了钱的时候我却没时间- 3 -