线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 2006年5月4日 振动力学 2 在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和 质量矩阵的广义特征值问题 在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和 质量矩阵的广义特征值问题 缺点之一：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大缺点之一：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大 本章介绍几种近似计算方法，可作为实用的工程计算方法 对系统的振动特性作近似计算 本章介绍几种近似计算方法，可作为实用的工程计算方法 对系统的振动特性作近似计算 邓克利法，瑞利法，里茨法，传递矩阵法邓克利法，瑞利法，里茨法，传递矩阵法邓克利法，瑞利法，里茨法，传递矩阵法邓克利法，瑞利法，里茨法，传递矩阵法 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 2006年5月4日 振动力学 3 邓克利法邓克利法 由邓克利（由邓克利（Dunkerley）在用实验确定多圆盘的横向振动固有频 率时提出的 ）在用实验确定多圆盘的横向振动固有频 率时提出的 便于作为系统基频的计算公式便于作为系统基频的计算公式 0KXXM=+ & & 自由振动作用力方程：自由振动作用力方程： 0XXFM=+ & & 0XXD=+ & & 左乘柔度矩阵左乘柔度矩阵F = K -1，位移方程：，位移方程： 定义定义D=FM 为系统的动力矩阵为系统的动力矩阵 n RX 作用力方程的特征值问题：作用力方程的特征值问题：MK 2 = 位移方程的特征值问题：位移方程的特征值问题：=D 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法 2006年5月4日 振动力学 4 作用力方程的特征值问题：作用力方程的特征值问题：MK 2 = 位移方程的特征值问题：位移方程的特征值问题：=D 特征值：特征值： 22 2 2 1n L 21 关系：关系： 2 /1 ii = 位移方程的最大特征根：位移方程的最大特征根： 2 11 /1=对应着系统的第一阶固有频率 （基频） 对应着系统的第一阶固有频率 （基频） 位移方程的特征方程：位移方程的特征方程：0= ID 展开：展开：0)() 1( 1 1 1 1 =+ nn nnn aaaL 其中：其中：Dtrddda nn =+=)( 22111 L 例如：例如： 0 2221 1211 = dd dd 0)()() 1( 211222112211 22 =+dddddd 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法 2006年5月4日 振动力学 5 特征方程：特征方程：0)() 1( 1 1 1 1 =+ nn nnn aaaL 其中：其中：Dtrddda nn =+=)( 22111 L 当当 M 为对角阵时：为对角阵时： FMD = = = n i iiim ftrtr 1 )(FMD 特征方程又可写为：特征方程又可写为：0)()( 21 = n L = = n i iii n i i mftrDa 11 1 有：有： 得：得： = = n i iii n i i mf 11 柔度系数柔度系数 fii的物理意义：沿第的物理意义：沿第 i 个坐标施加单位力时所产生个坐标施加单位力时所产生 的第的第 i 个坐标的位移个坐标的位移 2 /1 ii = = = = = = n i iii n i i mf 11 2 1 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法 2006年5月4日 振动力学 6 如果只保留第如果只保留第 i 个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：个质量，所得的单自由度系统的固有频率为： = = n i iii n i i mf 11 iiii i i mfm k1 2 = 例如：两自由度系统 柔度矩阵： 例如：两自由度系统 柔度矩阵： （1）只保留）只保留 m1 时时 + = 211 11 111 11 kkk kk F 1 11 1 k f= 1 1 2 1 m k = （2）只保留）只保留 m2 时时 1221 22 111 kkk f=+= 2 12 2 2 m k = m1 k1k2 m2 m1 k1 m2 k1k2 = = = n i iii n i i mf 11 2 1 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法 2006年5月4日 振动力学 7 如果只保留第如果只保留第 i 个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：个质量，所得的单自由度系统的固有频率为： = = n i iii n i i mf 11 iiii i i mfm k1 2 = 将代入：将代入： 2 i 22 2 2 1 1 2 1111 n n i i +=+= = = L 对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于 基频，因此左端可只保留基频项，有： 对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于 基频，因此左端可只保留基频项，有： 22 2 2 1 2 1 1111 n +L 邓克利法邓克利法 得到的基频是精确值的下限得到的基频是精确值的下限 = = = n i iii n i i mf 11 2 1 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法 2006年5月4日 振动力学 8 22 2 2 1 1 2 1111 n n i i +=+= = = L 解释：解释： 22 2 2 1 2 1 1111 n +L 解得：解得： ba =+=+ 2 1 1 22 3 2 2 111 n a +=+=L 22 2 2 1 111 n b +=L ab = = 1 2 1 因在邓克利法中忽略了因在邓克利法中忽略了a，因此所得结果为基频下限，因此所得结果为基频下限 得到的基频是精确值的下限得到的基频是精确值的下限 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法 2006年5月4日 振动力学 9 例：三自由度系统（教材例：三自由度系统（教材P104算例）算例） = + 0 0 0 220 231 012 200 010 001 3 2 1 3 2 1 x x x k x x x m & & & & & & 采用常规方法，采用常规方法，固有频率：固有频率：mk /3730 . 0 1 = mk /3213. 1 2 = mk /0286 . 2 3 = 邓克利法：邓克利法： 当当 m1单独存在时单独存在时mk / 2 1 = 当当 m2单独存在时单独存在时mk/ 12 2 2 = k kk kk k 2 1 21 21 12 = + = 当当 m3单独存在时单独存在时 kkkkk2 51111 321123 =+= 5 2 123 k k= m k 5 2 3 = 22 2 2 1 2 1 1111 n +L mk /3535. 0 1 =代入邓克利法公式：代入邓克利法公式： mm kk 2m 2k 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法 2006年5月4日 振动力学 10 瑞利法瑞利法 基于能量原理的一种近似方法基于能量原理的一种近似方法 可用于计算系统的基频可用于计算系统的基频算出的近似值为实际基频的上限算出的近似值为实际基频的上限 配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围 n 自由度保守系统：自由度保守系统：0KXXM=+ & & n RX 机械能守恒主振动 ：机械能守恒主振动 ：)sin(+=tX 动能与势能：动能与势能： XMX & T T 2 1 = =KXX T V 2 1 = = 最大值：最大值： M T T 2 max 2 1 =K T V 2 1 max = maxmax VT= 2 )(= M K T T R 瑞利商瑞利商 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 瑞利法瑞利法 2006年5月4日 振动力学 11 2 )(= M K T T R瑞利商瑞利商 对于第对于第 i 阶模态：阶模态： 2 )()( )()( )( )( i i T i i T i i R= M K 当为一般向量时（不是实际模态），总能展开为当为一般向量时（不是实际模态），总能展开为 n 个正则 模态的线性组合： 个正则 模态的线性组合： aN n j j Nj n NNNN aaaa=+= =1 )()()2( 2 )1( 1 L T n aaa, 21 L=a 代入瑞利商：代入瑞利商： = = n j j n j jj T T N T N T N T N T aaR 1 2 1 22 )( Iaa aa aMa aKa 可以证明，和分别为瑞利商的极小值和极大值可以证明，和分别为瑞利商的极小值和极大值 2 1 2 n 即：即： 22 1 )( n R 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 瑞利法瑞利法 2006年5月4日 振动力学 12 = = n j j n j jj T T N T N T N T N T aaR 1 2 1 22 )( Iaa aa aMa aKa 22 1 )( n R 分析：分析： j 1 换为若将瑞利商右端分子内的所有 是最低阶固有频率 换为若将瑞利商右端分子内的所有 是最低阶固有频率 1 由于 因此： 由于 因此： 2 1 1 2 1 2 1 2 )(= = n j j n j j aaR 2 1 )(=R 由瑞利商公式知，当确为第一阶模态时，有：由瑞利商公式知，当确为第一阶模态时，有： )1( = 因此，瑞利商的极小值为因此，瑞利商的极小值为 2 1 同理可证明，瑞利商的极大值为同理可证明，瑞利商的极大值为 2 n 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 瑞利法瑞利法 2006年5月4日 振动力学 13 = = n j j n j jj T T N T N T N T N T aaR 1 2 1 22 )( Iaa aa aMa aKa 22 1 )( n R kjnjaa kjj =, 2 , 1L， 如果接近第如果接近第 k 阶真实模态阶真实模态 )(k 即，比起即，比起 ak，其它系数很小，它们可表示为：，其它系数很小，它们可表示为： 1 愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确 例如例如 k1 = + n j jkj R 2 2222 1 )()( 所以所以 2 1 )(R 瑞利商：瑞利商： 得证得证 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 瑞利法瑞利法 2006年5月