函数的图象,高三数学总复习,你会利用图象的直观性来解决问题吗？,函数图象的四大变换,平移,对称,伸缩,翻折,2、图象变换类型：常用变换方法有四种，即平移变换、 伸缩变换、对称变换 和翻折变换,(1)平移变换：分为水平平移与竖直平移,y=f(x-h),y=f(x)-k,一、知识点及基本方法,1、画函数图象的依据：解析式及定义域；图象变换,y=f(x+h),y=f(x)+k,例1：如何由f(x)=x2的图象得到下列各函数的图象？,（1）f(x-1)=(x-1)2,（2）f(x+1)=(x+1)2,（3）f(x)+1=x2+1,（4）f(x) -1=x2-1,y=f(x-1),y=f(x+1),y=f(x)-1,y=f(x)+1,函数图象的平移变换：,1,1,-1,-1,向右平移a个单位,左右平移 （a0）,向左平移a个单位,向下平移a个单位,向上平移a个单位,上下平移 (a0),1.函数y=x2的图象经过怎样的变换可得到函数y=(x+1)2-1的图象?反过来呢? 2.若把函数y=f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位得到函数y=2x的图象，则f(x)=_. 分析：逆向变换。 3.要得到函数y=21-2x的图象,只需将指数函数y=( )x的图象（ ） （A）向左平移1个单位 （B）向右平移1个单位 （C）向左平移 个单位 （D）向右平移 个单位 分析：y=21-2x=(2-2)- +x=( )x-,练一练,2x-2+2,D,向下平移1个单位,向右平移1个单位,（1，-1）,(2)对称变换：,y=f(-x),y= - f(x),y= - f(-x),y=f(2a-x),y=f -1 (x),(3)伸缩变换：,y=f( x),y= A f( x),y=f( x),(4)翻折变换：分为左折与上折,y=f(|x|),y= |f(x) |,问题2：分别在同一坐标系中作出下列各组函数的图象，并说明它们之间有什么关系？,（1）y=2x与y=2|x|,（2）y=log2x与y=|log2x|,O,x,y,O,x,y,y=2x,保留y=f(x)中轴上方部分，再加上这部分关于x轴对称的图形.,1,1,y=2|x|,y=log2x,y=|log2x|,函数图象的翻折变换：,1.分别作出下列函数的图象： y=|x2-4x+1| y=x2-4|x|+1,练一练,2.已知函数y=|2x-2|,（1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。,O,x,y,3,2,1,1,-1,y=2x,y=2x-2,y=|2x-2|,y=|2x-2|,O,y,x,-4,1,4,-1,y=a(a=0) 有两个交点,y=a(0a4) 有四个交点,y=a(a=4) 有三个交点,y=a(a4)有二个交点,解：在同一坐标系中，作出y=|x2+2x-3|和y=a的图象。由图可知：,当a0时,当a=0时,当0a4时,当a=4时，,当a4时,方程无解;,方程有两个解;,方程有四个解;,方程有三个解;,方程有两个解.,y=a(a0) 没有交点,当a4或a=0时,方程有两个解.,例.求关于x的方程|x2+2x-3|=a(a为实数)的不同实根的,个数。,小 结,1.已学的画函数图象的基本方法：,（1）描点法：,（2）图象变换法：平移变换、翻折变换,2.用图象变换法画函数图象时，往往要找出该函数的基本初等函数，分析其通过怎样的变换(平移、翻折等)得到所求函数图象。有时要先对解析式进行适当的变形。,3.利用函数的图象判定单调性、求方程根的个数、解不等式、求最值等，体现了数形结合的数学思想。,（B）,（B）,O,y,x,O,y,x,-1,O,y,x,1,O,y,x,-1,1,-1,（A）,（C）,（D）,（B）,2.（全国高考）函数 y=a|x|(a1)的图象是,O,y,x,O,y,x,O,y,x,O,y,x,（A）,（C）,（D）,（B）,(A)0 (B)1 (C)2 (D)3,解.在同一坐标系中作出函数y=|lgx|和y=-x+3的图象,O,x,y,1,C,4.已知f(x+1)=x2+x+1,则f(x)的最小值是 .,分析1,求出f(x)=x2-x+1,分析2,将f(x+1)的图象向,右平移1个单位得f(x)的图象,所以f(X)与f(x+1)=x2+x+1有相同的最小值.,3,3,3.方程|lgx|+x-3=0的实数解的个数是（ ）,.如图,它们有两个交点,所以这个方程有两个实数解.,y=|lgx|,y=-x+3,二、题型训练,例1 江西05理7已知函数y=xf (x)的 图象如图所示，则y=f(x)的图象大致是,分析：根据y=F(x)= xf (x)的图象，得F(1) f (1)0， F（1） f ( 1)0，, f (1) f ( 1)0，, x1和x= 1是f (x)的极值点.故选C.,提问：本例除了从图形获取有效信息： f (1) f ( 1)0之外， 还能获取什么有效信息？,注：如1x2时，xf (x)0， f (x) 0， f (x)在（1，2）上是增函数,解析：0、1、2是方程f(x)=0的三个根,f(x)=ax（x1)（ x 2)=ax3 3ax2+2ax,又当0 x 0 a0,b3a0 故选A.,y,y,y,y,解析：由f(x)g(x)是偶函数否定A、D，,当x时，f(x)g(x) ，故选C.,2、画函数图象，由图象求解析式,例2 已知函数y=f (x)是在R上以2为周期的奇函数，在区间0,1）上的图象如下图所示，并已知该区间上图象是一个二次函数的图象的一部分，点(1,1)是其顶点.试作出y=f (x)在区间2,2上的图象，并求该区间上的解析式.,分析 ：本题可先求解析式后画图象，也可先画图再求解析式.,解：根据f (x)是奇函数，可作0,1）上的图象 关于原点对称图形得f (x)在（1,0）上的图象.,根据f (x)的周期性，可作出区间 2，1）和（1，2上的图象,又f (1) f (1)， f (1) f (12) f (1),f (1) f (1)0 图象包括点A（1，0）和B（1，0),故f (x)在2,2上的图象如右图所示,以下求f (x)在该区间上的解析式：,(1)当0x1时， f (x)a(x1)21,由f (0)0 得a=1 f (x)=(x1)2+1=x(2x),(2)当1x0时，0x1,f (x) f (x)x(x+2),(3)当2x1时，0x+21,f (x) f (x+2)x(x+2),(4)当1x2时，1x20,f (x) f (x2)x(x2),(5) f (1) f (1)0,且 f (2) f (0)0,小结： 本例画图象及求解析式都紧紧依靠函数的 奇偶性和周期性，而且根据已知图象，很 难确定图象包括A、B两点，只有根据奇偶 性和周期才能确定，这是容易遗漏的问题。,3、用数形结合思想解题,数形结合就是抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”，或者“以数解形” ，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的,例3,由图可知，两个函数的图象有两个交点 所以，原方程有两个实数解,的图象，,练习3：,已知 函数 f(x)= 的图象 如右图，则a、b、c的大小关系是（ ）,A.abc B.acb C.bac D.cab,练习4：,（1）怎样由y=0.5x 的图象得 y=log2(x+1)的图象？,（2）怎样由y=f(x1) 的图象得 y=f(2x)的图象？,解:(1) y=0.5x,作关于y=x的对称图形,作关于x轴对称,作关于y轴对称,y=log2x,log2x,向左平移1个单位,y=log2(x+1),(2) y=f(x1),向左平移1个单位,y=f(x),y=f(x),向右平移2个单位,y=f(2x),y=log0.5x,