专业整理分享 高考函数压轴大题 宋苗珂整理1已知函数若互不相等，且则的取值范围是(A) (B) (C) (D) 【答案】C 2直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 【答案】(1,【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.y=1xyaO【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线与曲线,观图可知，a的取值必须满足解得.3定义域和值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，给出下列四个命题： （1）方程有且仅有三个解； （2）方程有且仅有三个解； （3）方程有且仅有九个解； （4）方程有且仅有一个解。那么，其中正确命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D41.已知函数，为正整数ks5u（）求和的值；（）若数列的通项公式为（），求数列的前项和；（）设数列满足：，设，若（）中的满足对任意不小于3的正整数n，恒成立，试求m的最大值. ks5u 解：（）=1；=1；分（）由（）得 ,即由, 得 由, 得，10分（） ,对任意的. 即.数列是单调递增数列.关于n递增. 当, 且时, . .而为正整数，的最大值为650. 16分2已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；（3）当时，函数的值域是，求实数与的值解：（1）由已知条件得对定义域中的均成立. 即 对定义域中的均成立. 即（舍去）或. （2）由（1）得 设，当时，. 当时，即当时，在上是减函数. 同理当时，在上是增函数.（3）函数的定义域为，.在为增函数，要使值域为，3已知函数，当时，恒有（1）求的表达式；（2）设不等式的解集为A，且，求实数的取值范围。（3）若方程的解集为，求实数的取值范围。解：（1）当时，恒成立，即恒成立，分又，即，从而 分（2）由不等式，即且 分由于解集，故， 分所以 即， 分又因为，所以实数的取值范围是 分（3）解法一：由分方程的解集为，故有两种情况：方程无解，即，得 分方程有解，两根均在内，则 分综合得实数的取值范围是 分（3）解法二：若方程有解，则由分由当则，当且仅当时取到18 当，则是减函数，所以即在上的值域为 故当方程无解时，的取值范围是 4.已知函数，函数的图像与函数的图像关于直线对称.（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围；（3）设函数，试用列举法表示集合.（1）由得，由已知可得 （4分）（2）在上是单调递增的，又，（或设则，）所以函数在区间上为增函数，因此 （6分）即所以 m、n是方程的两个相异的解. （8分）设，则 （10分）所以为所求. （12分）另解：由 可转化为函数 图像与函数的图像有两个交点问题，数形结合求得：.（3） （14分） 当且仅当时等号成立， （16分） ，有可能取的整数有且只有1，2，3.当时，解得（舍去）；当时，解得（舍去）；当时，解得（舍去）.故集合（18分）5.已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、（）设，试求函数的表达式；（）是否存在，使得、与三点共线若存在，求出的值；若不存在，请说明理由（）在（）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，使得不等式成立，求的最大值解：（）设、两点的横坐标分别为、， ， 切线的方程为：，又切线过点， 有，即， （1） 2分同理，由切线也过点，得（2）由（1）、（2），可得是方程的两根， （ * ） 4分 ，把（ * ）式代入,得,因此，函数的表达式为 5分（）当点、与共线时，即，化简，得， （3） 7分把（*）式代入（3），解得存在，使得点、与三点共线，且 9分（）解法：易知在区间上为增函数，则依题意，不等式对一切的正整数恒成立， 11分，即对一切的正整数恒成立， ，由于为正整数， 13分又当时，存在，对所有的满足条件因此，的最大值为 14分解法：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值，长度最小的区间为， 11分当时，与解法相同分析，得，解得 6设函数是定义域在上的单调函数，且对于任意正数有，已知.（1）求的值；（2）一个各项均为正数的数列满足：，其中是数列的前n项的和，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，是否存在正数，使 对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，说明理由.解：（1），令，有，.再令，有，（2）,又是定义域上单调函数， 当时，由，得，当时， 由，得，化简，得，即，数列为等差数列. ，公差.，故. （3），令=,而. =， ，数列为单调递增函数，由题意恒成立，则只需=， ，存在正数，使所给定的不等式恒成立，的取值范围为.13分7.已知定义在上的函数满足：（1）值域为，且当时，；（2）对于定义域内任意的实数，均满足：试回答下列问题：（）试求的值；（）判断并证明函数的单调性；（）若函数存在反函数，求证：分析与解：（）在中，令，则有即：也即：由于函数的值域为，所以，所以（）函数的单调性必然涉及到，于是，由已知，我们可以联想到：是否有？（）这个问题实际上是：是否成立？为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即的关系由于，所以，在中，令，得所以，函数为奇函数故（）式成立所以，任取，且，则，故且所以，所以，函数在R上单调递减（）由于函数在R上单调递减，所以，函数必存在反函数，由原函数与反函数的关系可知：也为奇函数；在上单调递减；且当时，为了证明本题，需要考虑的关系式在（）式的两端，同时用作用，得：，令，则，则上式可改写为：不难验证：对于任意的，上式都成立（根据一一对应）这样，我们就得到了的关系式这个式子给我们以提示：即可以将写成的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端事实上，由于，所以，所以，点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定的值8.设函数的定义域为全体R，当xbc1,且a、b、c成等差数列，求证：；（3）（本小题只理科做）若f(x) 单调递增，且mn0时，有，求证：解：(1)取x=1,q=2,有若存在另一个实根，使得（2），则0，又a+c=2b,ac-b=即acb(3)又令m=b,n=,b且q则f(m)+f(n)=(qf(b)=f(mn)=0且即4m=,由0n1得，10设（且），g(x)是f(x)的反函数.（）设关于的方程求在区间2，6上有实数解，求t的取值范围；（）当ae（e为自然对数的底数）时，证明：；（）当0a时，试比较与4的大小，并说明理由.解：(1)由题意，得ax0故g(x)，x(,1)(1,)由得t(x-1)2(7-x)，x2,6则t=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5)列表如下：x2(2,5)5(5,6)6t+0-t5极大值3225所以t最小值5，t最大值32所以t的取值范围为5,325分(2) ln() ln令u(z)lnz22lnzz，z0则u(z)(1)20所以u(z)在(0,)上是增函数又因为10，所以u()u(1)0即ln0即9分(3)设a，则p1，1f(1)3当n1时，|f(1)1|24当n2时设k2,kN *时，则f(k) 1所以1f(k)1从而n1n-1+n+1-n1所以nf(1)n1n4综上所述，总有|n|411已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，求的取值范围。（）的定义域为（0，+）. .当