资源预览内容
第1页 / 共3页
第2页 / 共3页
第3页 / 共3页
亲,该文档总共3页全部预览完了,如果喜欢就下载吧!
资源描述
2015 年第 8 期 多变量函数最值问题因形式活泼、题型新颖、蕴含着丰富 的思想方法,一直深受命题者的青睐。这类问题,能较好地考 查学生对基础知识、数学思想方法的掌握程度,检验学生思维 灵活性,因此正逐渐成为考试或竞赛的热点问题。但由于其综 合性强、解法灵活多变的特点,从而也是学生的难点问题,正 确率较低。文章就高中阶段常见多变量最值问题的解法举例进 行阐述。 一、均值定理法 当题目是已知和 ( 积 ) 为定值求积 ( 和 ) 的最值时,往往 可以用均值定理来求解,高中阶段主要是借助于二元的均值定 理即基本不等式来解决。如果遇到多元的时候,则用多元均值 定理、柯西不等式或者消元后用基本不等式。 例 1已知 a,b,c (0,+ ),3a - 2b + c = 0,则 ac姨 b 的最大值为 _。 解:a,b,c (0,+ ),由已知条件等式得 2b = 3a + c 23ac姨,所以 ac姨 b 1 3姨 。 例 2设正实数 x,y,z 满足 x2- 3xy + 4y2- z = 0,则当 xy z 取得最大值时, 2 x + 1 y - 2 z 的最大值为 _。 解:由 x2- 3xy + 4y2- z = 0,可得 z = x2- 3xy + 4y2, 故 xy z = xy x2- 3xy + 4y2 = 1 x y + 4y x - 3 1 24姨- 3 = 1, 当且仅当 x y = 4y x ,即 x = 2y 时等号成立。 此时,z = 2y2,故2 x + 1 y - 2 z = -1 y2 + 2 y = - 1 y - 22 1 2 + 1, 因此,当 y = 1 时, 2 x + 1 y - 2 z 22 max= 1。 【 评析 】 此题消元后化为学生熟悉的二次函数的最值问题, 将均值不等式的应用与二次函数的最值问题有机结合起来,一 气呵成,浑然一体。 二、减元消元法 多元变量的最值问题,消元是最朴素的方法。当题目中出 现两个及其以上的变量时,可利用已知条件消去一些未知数, 使未知数的个数减少,直到能够解决为止。 例 3若实数 a,b 满足 ab - 4a - b + 1 = 0(a 0 ) ,则(a + 1 ) (b + 2 ) 的最小值为 _。 解:因为 ab - 4a - b + 1 = 0,所以 b = 4a - 1 a - 1 。 所以 (a + 1 ) (b + 2 )=(a + 1 ) 4a - 1 a - 1 + 22 2。 令 t=a-1,则上式可化为 (t+2 ) 3 t + 22 6=15+ 6 t +6t27。 【 评析 】 此题通过消元法,将二元变量问题转化为一元变量 问题来解决。当然,多元变量问题也可以通过消元转化为二元 问题或者是一元问题。 例 4已知对任意实数 x,二次函数 f (x )= ax2+ bx + c 0 恒成立,且 a 0,且 b2- 4ac 0,所以 c b2 4a 。 令 b a = t 1,则 a + b + c b - a a + b + b2 4a b - a = 4 + 4t + t2 4 (t - 1 ) = 1 4 (t - 1 )+ 9 t - 1 + 22 6 3。 三、整体换元法 解决多变量最值问题的过程中,整体换元可将变量个数减 少或将不易求最值的式子划为便于用一些基本不等式来解答的 形式,从而使问题得到解答。 例 5设 x,y 为实数,若 4x2+ y2+ xy = 1,则 2x + y 的最大 值为 _。 解:4x2+ y2+ xy = 1,所以 (2x + y ) 2- 3xy = 1。 令 2x + y = t,则 2xy 2x + y 2 22 2,即 xy t2 8 ,所以 t2- 1 3 8 t2。 即 t2 8 5 ,- 210姨 5 t 210姨 5 。 所以 2x + y 的最大值为 210姨 5 。 【 评析 】 根据条件形式,将目标 2x + y 看成是一个整体,是 多 元 变 量 最 值 问 题 解 法 探 析 方立新 ( 江苏省扬中市外国语中学 ) 解题研究 43 2015 年第 8 期 解决本例的关键所在。 例 6已知 x,y 为正数,则 x 3x + y + y x + 2y 的最大值为 _。 解:设 3x + y = m,x + 2y = n,则 x = 2m - n 5 ,y = 3n - m 5 。 所以 x 3x+y + y x+2y = 2m-n 5m + 3n-m 5n = 1 - n 5m - m 5n 1 - 2 5 = 3 5 。 所以 x 3x + y + y x + 2y 的最大值为 3 5 。 【 评析 】 将所求表达式的两个分母分别看成是两个整体,先 用换元法,将条件中的 x,y 用所设的变量表示,后用基本不等 式求解。 四、三角代换法 例 7已知 a,b,c 是正实数,且 abc + a + c = b,设 p = 2 a2+ 1 - 2 b2+ 1 + 3 c2+ 1 ,求 p 的最大值。 解:设 a = tan ,b = tan ,c = tan ,0, 2 , 则 p = 2cos2 - 2cos2 + 3cos2 = cos 2 - cos 2 + 3cos2 = 2sin ( + ) sin ( - )+ 3cos2。 abc + a + c = b, 所以 tan = b = a + c 1 - ac = tan + tan 1 - tan tan = tan ( + ) 。 又 , 0, 2 tt,所以 = + ,所以 = - 。 所以 p = 2sin ( + ) sin + 3cos2 2sin + 3cos2 = -3sin - 1 3 tt 2 + 10 3 10 3 。 所以 p 的最大值为 10 3 。 【 评析 】 此题先进行三角代换,将 p 转化为二次函数利用三 角函数的有界性求最值。 例 8若实数 a,bR,a2+ 2b2= 6,则 b a - 3 的最大值是 _。 解:设 a =6姨cos ,b =3姨sin , 则 t = b a - 3 = 3姨sin 6姨cos - 3 = sin 2姨cos -3姨 , 所以 t (2姨cos -3姨)= sin ,2姨tcos - sin =3姨t。 配角得:2t2+ 1姨cos ( + )=3姨t,其中 tan = 1 2姨t 。 所以 cos ( + )= 3姨t 2t2+ 1姨 , 所以 cos ( + ) = 3姨t 2t2+ 1姨 1,所以 t2 1。 所以 t 的最大值为 1。 【 评析 】 此题利用三角代换将问题转化为利用三角函数有界 性来解决。当然,此题也可以将条件等式看成是椭圆的标准方 程,因此目标是求点 (a,b ) 与点 (3,0 ) 连线斜率的最大值问题。 五、线性规划法 例 9在ABC 中,已知三边 a,b,c 满足 b + c 2a, c + a 2b ,则 b a 的取值范围是 _。 解:因为 a,b,c 是三角形三边,则 a + b c, a + c b, b + c a , 将所有的 不等式两边都同除以 a 得: b a + c a 2, c a + 1 2 b a , 1 + b a c a , 1 + c a b a , b a + c a 1 , 令 b a = x, c a = y, 则得 x + y 2, y + 1 2x, 1 + xy, 1 + y x, x + y 1 , 即 y -x + 2, y x - 1, y -x + 1, y 2x - 1 , 由条件不等式组作出可行域,即可得到其中 x 的范围为 2 3 , 3 2 t,即所求 b a 的范围为 2 3 , 3 2 t。 【 评析 】 此题条件形式是 a,b,c 的不等关系,因此可以联 想到线性规划知识通过数形结合来求解。 六、分离参数法 例 10已知点 A(x,y ) 为函数 y = 1 x 图象上在第一象限内 运动,若 x3+ y3 a (x + y ) 2恒成立,则实数 a 的范围是 _。 解:由条件可得:xy=1,x0,y0,所以 x3+y3a(x+y ) 2 恒成立等价于 a x3+ y3 (x + y ) 2 恒成立。 因为 x3+ y3 (x + y ) 2 = (x + y ) (x2- xy + y2) (x + y ) 2 = x2- xy + y2 x + y =(x + y )- 3xy x + y =(x + y )- 3 x + y , 令 t = x + y 2xy姨= 2, 因为 t - 3 t 在 2, ) 上单调递增, 所以,当且仅当 t = 2 时,t - 3 t tt min= 1 2 。 因此,a 1 2 。 【 评析 】 此题关键在于参变分离后,将式子中的 x + y 看成 整体 t,然后可用函数的单调性求最值。 例 11已知 a,b,c 为直角三角形的三边,其中 c 是斜 边,若 1 a2 + t b2 - 4 c2 0 恒成立,则实数 t 的取值范围是 _。 解题研究 44 2015 年第 8 期 解:由条件得: t b2 4 c2 - 1 a2 ,即 t b2 4 c2 - 1 a2 22恒成立, 因为 b2= c2- a2, 所以 t (c2- a2) 4 c2 - 1 a2 22。 又因为(c2- a2) 4 c2 - 1 a2 22= 5 - 4a2 c2 + c2 a2 22 1。 所以,所求实数 t 的取值范围是 t 1。 【 评析 】 此题体现了处理恒成立问题时首选参变分离法,多 个变量可用消元法减少变量的个数,然后用基本不等式求得 最值。 七、主元法 例 12不等式 a2+ 8b2 b(a + b ) 对任意的实数 a,bR 恒成立,则实数 的取值范围是 _。 解法 1:将变量 a 看成主元,其他变量看成是常数,则原命 题可转化为不等式 a2- ab +(8 - ) b20 对于任意的实数 a都恒成立。所以 =(-b ) 2 - 4 (8 - ) b2 0 恒成立,即 2 4 (8 ) b2 0 对任意的实数 b 恒成立,所以 2- 4 (8 - ) 0,解得:-8 4。 解法 2:若 b = 0,则 R,当 b0 时,不等式两边同除 以 b2得: a b 2 2 2 + 8 a b + 22 1。 令 t = a b ,得 t2- t + 8 - 0; 由 0 可得:-8 4。 综上,所求实数 的取值范围是 8,4 。 【 评析 】 此例用参变分离较麻烦,用主元思想将所给问题转 化为一元二次不等式的恒成立问题,使得整个问题的求解十分 简洁。 总之,多变量的最值问题所涉及的内容比较广泛,思维灵 活,技巧性强,有利于学生发散思维的培养。因此处理这类问 题,要根据所给条件,通过化归方法,转化为熟悉的二元或一 元问题来求
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号