1,第6章 控制系统的综合,6-1 状态反馈的一般概念,控制系统的两大问题：系统分析与系统综合；,构成反馈控制系统的两种方式：输出反馈与状态反馈；,输出反馈：不能任意配置极点，物理实现也有困难，校正装置往往使用PID动态环节构成；,2,状态反馈：在一定条件下，就可使极点任意配置，物理实现也非常容易，一般仅用比例环节就可实现校正。,一、状态反馈的一般形式：,3,讨论：,（1）如果D=0，则,（2）比较状态反馈前后的状态方程：,故状态反馈可以改变系统的控制特性；,4,（3）此时，系统的传递函数阵为：,（4）如果今K=HC，则,这相当于将输出反馈回来。说明输出反馈是状态反馈的一个特例。,二、状态反馈对系统性能的影响：,5,（1）状态反馈保持系统的可控性,设原系统为：0=(A,B,C),其能控性判别矩阵即为：,被控系统采用状态反馈后的系统为： K= (A-BK, B, C), 其能控性判别矩阵即为：,Qcf 所有列向量都能由Qc的列向量的线性组合来表示。而初等变换不改变矩阵的秩，故,6,即状态反馈不会改变原系统的能控性；,（2）状态反馈可能破坏系统的能观性,系统的输出方程为：,7,故说明系统的能观性被破坏了。,如果选择 ，则,6-2 极点配置问题,所谓极点配置(pole assignment)问题，就是给出一组希望极点，通过调节、校正使系统的闭环极点等于希望极点。,8,一、极点配置定理,系统=(A,B,C)，采用状态反馈可以任意配置闭环系统极点的充分必要条件为：系统=(A,B,C)完全能控。,证(SISO) ：,（1）如果=(A,B,C)是能控的，可以将其变换为能控标准形，即,9,其中:,（2）在能控标准实现的基础上，引入状态反馈，其状态方程为：,10,其中:,则闭环系统的系统矩阵为：,此时，闭环系统的特征多项式为：,11,（3）设闭环系统的期望极点为1,2, n ， 则期望特征多项式,欲使闭环极点取期望值，只需比较(1),(2)式即可得到：,12,由此可以确定状态反馈增益矩阵:,从而实现了闭环极点的任意配置。,（1）若给定系统不是标准形，则可令,说明：,13,（2）引入状态反馈后，闭环系统的零点保持不变。,而引入状态反馈后，系统为：,然后比较系数，即可求出增益矩阵K；,14,显然C阵不变，传递函数的分子不变。即系统的零点保持不变。,例：给定系统的状态方程和输出方程为：,15,解：（1）首先验证系统的能控性：,试设计状态反馈阵K，使闭环系统的极点为-2、-1 j。并画出配置后的闭环系统状态变量图。,故系统的状态完全能控，极点可以任意配置。,（2）引入状态反馈后，闭环系统的特征多项 式为：,16,（3）期望特征多项式为：,（4）比较上两式的系数，即得到：,K=4 3 1,（5）画出闭环系统的状态变量图如下所示：,17,注意：,（1）绘制闭环系统状态变量图最好使用:,18,习题: 4-13, 5-3,19,这三个方程绘出，则原系统与状态反馈的关系非常清楚明了；,（2）使用能控标准形或者直接求取K阵的方法各有干秋，一般说来，系统阶次较低时，宜使用直接法；在系统阶次较高时，应使用能控标准形求取K值。,二、闭环系统期望极点的选取：,即利用主导极点的概念:系统的性能主要由主导极点所决定,其余极点远离虚轴,衰减很快,对系统的影响很小,可忽略不计.,20,1、由要求的超调量和调整时间决定期望闭环极点:,给定的品质指标为：；ts 。 故,从而，期望主导极点即为:,21,2、由要求的稳态误差确定L：,此时系统应该具有如下结构形式：,而其余极点离虚轴的距离应远大于主导极点离虚轴的距离，即,设系统为能控标准型，故有,22,当u(t)=1(t)时，系统的稳态误差（位置误差）为,若欲使系统的位置误差为零，则,23,6-3 系统的镇定问题,在系统综合中,有时仅要求改变不稳定的闭环极点为稳定极点,这就是系统镇定(stabilization)。,镇定问题是极点配置问题的一个特殊情况，其目的是使系统的所有极点位于根平面的左半平面，而不要求它们的确切位置；,清楚地：一个完全能控的系统一定是能镇定的；但是一个能镇定的系统未必是能控的。,24,定理：线性定常系统=(A,B,C)是系统能镇定的充分必要条件为：系统不能控子系统是渐近稳定的。,例：已知系统的状态方程，判断系统是否为可镇定的，若是可镇定的，试用状态反馈使闭环系统为渐近稳定。,25,解: （1）判定系统的能控性，有,故系统状态不完全可控；,（2）按能控性进行结构分解，构造Rc :,26,其中不能控子空间为：,是渐近稳定的，所以系统是能镇定的。,（3）对能控子系统进行状态反馈，使之成为渐近稳定的。故设,27,能控子空间的闭环特征多项式即为：,由Routh判据，有,（4）求对应分解前的K：,28,6-4 输出反馈,一、从输出到 处的反馈,此时，系统结构图如下：,原系统的状态空间表达式为,29,而输出反馈后的闭环系统为,定理1：,对受控系统=(A,B,C)采用从输出到 的线性反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是原受控系统=(A,B,C)状态完全能观测。,说明：,1. 反馈前后系统的能观性保持不变，而系统的能控性可能发生改变；,30,2. 输出反馈阵H的算法与状态反馈阵K的算法相似。,二、从输出反馈至参考输入,此时，系统结构图如下：,31,定理2：,对完全能控的SISO系统=(A,B,C)，不能采用输出线性反馈来实现闭环系统的极点任意配置。,6-5 状态观测器,状态观测器(state observer)又称为状态估计器、状态重构器。由于实际系统的状态并非实际可测，因而状态反馈难于实现，通过状态观测器重构状态，使状态反馈成为可能。,32,习题: 5-7,33,一、全维状态观测器,1、模型的建立,设有完全能观测的定常系统,又取观测器的动态方程为,34,由于初始状态的不同、模型的差异和噪音的存在，重构状态与原状态肯定存在差异，因而输出也必然存在差异。故可利用输出的差异对观测器进行校正，强迫 ， 故,观测器模型：,若经过一段时间的校正，使得,35,则上述模型就可作为系统的状态观测器。,2、Ke存在的条件,条件1：,36,条件2：由极点配置定理知,欲使(A-BK)任意配置的充要条件是系统能控;利用对偶原理,欲使(A-KeC)任意配置的充要条件是系统完全能观。,即原受控系统必须是状态可观的。,3、Ke的计算,Ke的求法与极点配置完全一样，只是注意 的模型是不同的。,37,配置Ke常用的观测器模型是：,其结构图如下所示：,38,解：,（1）判断系统的能观性,因为G(s)没有零、极点对消，所以原系统是能观的，观测器极点可以任意配置；,（2）列写系统的状态空间表达式,39,（3）设Ke=ke1 ke2 T，故观测器的特征多项式为:,（4）期望特征多项式为：,比较上两式，可得,40,（5）由观测器的状态方程，故有,从而可得系统结构图如下所示：,41,状态观测器的另一种结构形式可由下式绘出：,42,二、降维状态观测器,因为一方面观测器的输出可直接提供一部分状态；另一方面原系统的某些状态也能够直接测量。因而观测器的阶数是可以降价的，即降维状态观测器。,三、带观测器的闭环控制系统,有了观测器，重构了系统的状态，就可应用状态反馈实现系统的闭环控制。,此时，系统结构图如下所示：,43,1、系统的设计,如图所示带有全维状态观测器的状态反馈系统:,设给定系统是能观、能控的，其动态方程为,44,观测器的状态方程为,而,将上三式合并在一起，构成一个2n阶系统。,说明：,45,c. 使用状态观测器闭环后，系统的传递函数阵不变。,b. 如果=(A,B,C)是完全能控、能观的,则K、Ke存在,可按以前介绍的方法分别求取;,a. 带观测器的闭环系统的特征值,由状态反馈的极点和观测器的极点构成,两者之间互不相干,可独立选取,分别配置,这就是分离原理;,46,e. 为了让重构状态迅速跟踪原状态，故选取观测器极点时，应该比配置的闭环极点更远离虚轴些，这样就可使重构状态更快地跟踪原状态x。,d. 观测器对系统动特性的影响,主要表现在系统工作的初始阶段,此时重构状态还未完全跟踪x,经过一段时间之后,观测器对系统的特性就无影响了,因而采用重构状态反馈对系统的动、稳态特性均无影响;,47,解：,（1）系统完全能控、能观，故K、Ke存在。由于采用状态观测器反馈，因而系统阶数为2n；,（2）利用分离原理，分别配置状态反馈极点和观测器极点：,48,a、配置状态反馈极点,而,故,49,b、配置观测器极点,而,故观测器模型即为：,50,可绘出闭环系统结构图为：,（3）闭环系统的传递函数为：,51,6-6 系统解耦,一、解耦(decoupling)的定义,若一个m维输入，m维输出的线性定常系统：,52,其传递函数阵:,是一对角线有理多项式矩阵，则称该多变量系统是解耦的。,二、串联解耦,系统结构如图所示。,53,G0(s)为待解耦对象的传递函数阵；,Gc(s)为解耦装置的传递函数阵；,H(s)=I，为反馈矩阵传递函数阵。,故系统闭环传递函数阵为,容易解出Gk(s)，可得,上式表明，欲使系统闭环解耦，只要系统开环传递函数Gk(s)为对角线标准形即可。,54,如果给定(s)，则,如果给定Gk(s)，则,三、状态反馈解耦,此时，系统结构如图所示:,55,1、几个量的定义,（1）di,它是满足下列不等式的最小l：,例：已知系统各矩阵如下所示，求di。,56,解：,故,（2）D、E、F,57,2、系统解耦的条件(充要条件),系统能解耦的充分必要条件是：E阵(m*m)非奇异。,3、K、H的算法,由,将上式代入系统的状态方程，则有,58,闭环系统的传递函数阵为,59,习题: 5-8, 5-11,