第3章 三角恒等变换章末分层突破自我校对C()C2S()S2T()T2求值问题三角函数求值主要有三种类型，即(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角，要注意角的范围(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围已知tan 4，cos()，均为锐角，求cos 的值【精彩点拨】由tan 求sin ，由cos()求sin()，再利用cos cos()展开求解【规范解答】因为，均为锐角，所以0，又cos()，所以，且sin().因为tan 4，所以sin ，cos .所以cos cos()cos()cos sin()sin .再练一题1已知sinsin，求的值【解】sinsin，sincos，sin，即cos 2.又，2(，2)，sin 2.化简与证明三角函数式的化简与证明要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向求证：.【精彩点拨】先对原式进行等价变形，同时注意应用“二倍角”的正弦、余弦、正切公式【规范解答】证明原不等式成立，即证明1sin 4cos 4tan 2(1sin 4cos 4)成立tan 2(1sin 4cos 4)(2cos222sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2)2sin 2cos 22sin22sin 41cos 4.再练一题2化简：.【解】原式2.三角恒等变换的综合应用1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用2把形如yasin xbcos x化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值【精彩点拨】分别表示两向量的模，利用相等求解x的值；利用数量积运算及辅助角公式化为一个角的一种函数求解【规范解答】(1)由|a|2(sin x)2sin2 x4sin2x，|b|2cos2xsin2x1，及|a|b|，得4sin2x1.又x，从而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，当x时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.再练一题3已知函数f(x)cos2sincos.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若f()，求sin 2的值【解】(1)f(x)cos2sincos(1cos x)sin xcos.所以f(x)的最小正周期为2，值域为.(2)由(1)知f()cos，所以cos.所以sin 2coscos12cos21.转化与化归思想在三角变换中的应用在三角函数的化简、求值中，常常对条件和结论进行合理的变换，通过转化沟通已知与未知的关系，角的转化、函数名称的转化、常数代换、幂的升降变换、结构变化等技巧在解题中经常用到，应熟练掌握已知tan ，tan ，且，(0，)，求2的值【精彩点拨】先求tan(2)的值，再结合2的范围求2的值【规范解答】tan 0，2(0，)，tan 20，2，又tan 0，(0，)，tan(2)1，又2，2(，0)，2.再练一题4已知，0，cos，sin，求sin()的值【解】，0，0，sin，cos，sin()coscos.1(2015重庆高考改编)若tan 2tan，则_.【解析】coscossin，原式.又tan 2tan，原式3.【答案】32(2016全国卷改编)若cos，则sin 2_.【解析】因为cos，所以sin 2coscos 22cos2121.【答案】3(2016四川高考)cos2sin2_.【解析】cos2sin2cos .【答案】4(2016浙江高考)已知2cos2xsin 2xAsin(x)b(A0)，则A_，b_.【解析】2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x1sin，1sinAsin(x)b，A，b1.【答案】15(2015江苏高考)已知tan 2，tan()，则tan 的值为_【解析】tan tan()3.【答案】36(2016江苏高考)在ABC中，AC6，cos B，C.(1)求AB的长；(2)求cos的值【解】(1)因为cos B，0B，所以sin B.由正弦定理知，所以AB5.(2)在ABC中，ABC，所以A(BC)，于是cos Acos(BC)coscos Bcos sin Bsin .又cos B，sin B，故cos A.因为0A，所以sin A.因此，coscos Acos sin Asin .章末综合测评(三)三角恒等变换(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在题中横线上)1若sin，则cos 2_.【解析】由sin，得cos ，所以cos 22cos2 1.【答案】2若sin sin 1，则cos()_.【解析】sin sin 1，sin 1，sin 1或sin 1，sin 1.由sin2cos21得cos 0.cos()cos cos sin sin 011.【答案】13sin 163sin 223sin 253sin 313_.【解析】原式sin 17cos 47cos 17sin 47sin(4717)sin 30【答案】4化简：_.【解析】原式tan 2.【答案】tan 25若，sin ，则tan 2_.【解析】，sin ，cos ，tan ，tan 2.【答案】6(2016南通高一检测)化简：cos2sin2_.【解析】原式cos x.【答案】cos x7已知sincos ，450540，则tan_.【解析】已知等式两边平方得sin ，450540，cos ，tan2.【答案】28tan 19tan 41tan 19tan 41的值为_【解析】tan 19tan 41tan 60(1tan 19tan 41)tan 19tan 41原式tan 19tan 41tan 19tan 41.【答案】9设asin 14cos 14，bsin 16cos 16，c，则a，b，c的大小关系是_【解析】asin 59，bsin 61，csin 60，所以acb.【答案】acb10为了得到函数ysin 3xcos 3x的图象，可以将函数ycos 3x的图象向_平移_个单位【解析】ysin 3xcos 3xcoscos 3故将ycos 3x的图象向右平移个单位得到ysin 3xcos 3x的图象【答案】右11函数ysin xcos xcos2x图象的对称轴方程为_【解析】ysin 2xcos 2xsin由2xk得x(kZ)【答案】x，kZ12(2016苏州高一检测)已知点Psin ，cos 落在角的终边上，且0,2)，则tan的值为_【解析】由题意知，点P在第四象限，且落在角的终边上，所以tan 1，所以tan2.【答案】213设，(0，)，且sin()，tan ，则cos 的值为_【解析】由tan ，得sin ，(0，)，cos ，由sin()sin ，(0，)，cos().cos cos()cos()cos sin()sin .【答案】14已知函数f(x)sinsincos xa在区间上的最大值为2，则常数a的值为_【解析】f(x)2sin xcos cos xasin xcos xa2sina，又x，sin1，a22，则a0.【答案】0二、解答题(本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)已知sin cos 2，求sin 2.【解】sin 12sin2，即2sin2sin 10，sin 1或sin .又，sin ，.