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第四章 统计物理学基础 第五章 热力学基础,第二篇,热物理学, 理想气体的温度、压强 、内能, 能量均分定理, 概率、概率分布函数、分布率, 平均碰撞频率、平均自由程, 玻尔兹曼能量分布律,本章基本要求,第四章 统计物理学基础, 物质的微观模型、描述系统的状态参量, 麦克斯韦速率分布律,热力学系统: 大量微观粒子(分子、原子等)组成的宏观体系。,外界:热力学系统以外的物体。,一、物质的微观模型,微观粒子体系的基本特征:,(1)分子(或原子)非常小,(4)分子或原子都以不同的速率不停地运动(是杂乱无章的),(2)热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大,(3)分子之间存在相互作用力-分子力,4-1、统计物理的基本概念,宏观量 从整体上描述系统特征和状态的物理量,一般可以直接测量。 如 压强 p、体积 V、温度 T(状态参量)等。,二、系统状态的描述,微观量 描述系统内微观粒子特征和状态物理量。如分子的质量、直径、速度、动量、能量等。,微观量与宏观量有一定的内在联系. 就要找出这种联系? 例如,气体的压强(宏观量)是大量分子撞击器壁的平均效果, 它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。,平衡态(equilibrium state): 在无外界影响的条件下, 系统所有可观测的宏观性质不随时间改变的状态。,非平衡态:不具备两个平衡条件之一的系统.,设一容器,用隔板将其隔开, 当隔板右移时,分子向右边扩散,在这过程中,各点密度、温度等均不相同,这就是非平衡态。但随着时间的推移.,平衡条件: (1) 系统与外界在宏观上无能量和物质的交换, (2) 系统的宏观性质不随时间改变。,终了 (平衡态),扩散 (非平衡态),(1)平衡态是一种热动平衡,处在平衡态的大量分子仍在作热运动,而且因为碰撞, 每个分子的速度经常在变,但是系统的宏观量不随时间改变,(2)平衡态是一种理想概念,两点说明:,是在一定条件下对实际情况的抽象和近似,系统所受外界影响可以略去,宏观性质只有很小变化时,可近似看作是平衡态。,当系统处于平衡态时,三个状态参量存在一定的函数关系:,状态方程,物态方程 (状态方程),当质量M不变时,有,理想气体:分子本身的体积/重力和分子间的作用力 都可以忽略不计的气体,例1 氧气瓶的压强降到106Pa时应重新充气,以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气,容积为32L,压强为1.3107Pa,若每天用105Pa的氧气400L,问此瓶氧气可供多少天使用?设使用时温度不变。,解: 根据题意,可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体,设这三部分气体的状态参量分别为,使用时的温度为T,分别对它们列出状态方程,有:,设可供 x 天使用,则有:,例2 、一自行车轮胎,在温度为00C时打入空气,直到胎内压强1.5atm. (1)由于摩擦与日晒,车胎温度升高到300C,问此时轮胎内压强为多少?(2)在骑车过程中,胎被刺破一小洞而漏气,问当自行车停下胎的温度又降至00C时,胎内漏掉的气体是原有气体的百分之几?,解: (1)设自行车轮胎体积为V0,压强P0=1.5atm, T0=273K, T=303K.,胎被刺破前,胎内空气的质量一定,故可由,(2) 车胎漏气,由于车胎内气体压强最终要与大气压相等,即P1=1.0atm, T1=T0=273K.,设此时胎内空气质量为M ,漏气前质量为M, 为空气摩尔质量,设漏掉空气与原有空气的百分比为x,则,结论:,而当质量改变时,就只能用,当质量不变时,有,例3:,分子量 两气体,容积 ,摩尔数 管道相连打开阀门,求混合气体压强和平均分子量。,解:,例题4:车胎打气,每次仅进空气 ,在318K时,胎与地面接触面积 ,问需打气几次?(车轮负荷50.0kg,内胎容积 ,空气温度270K,气压 ,胎原无气,外胎柔软),每次打入空气质量?最后胎内总气体质量?相除得打气次数。,解:,负荷50.0kg,胎与地接触面积,318K,充气后要达到的体积、温度、压强:,每次打进空气状态:,每次打入空气质量,打气n次,胎内气体总质量,代入数值:,例5:,容器中氧气,M=0.1kg,P=10atm,t=470C。漏气,过一段时间,压强降为原来的5/8,温度降至270C,求漏气多少?,解:,270C,470C,0.1kg,三、分子热运动的无序性和统计规律性,什么是统计规律性(statistical regularity),大量偶然性从整体上所体现出来的必然性。,单个分子运动情况具有很大的偶然性。,大量分子的集体表现存在一定规律性。,每一面朝上的概率都是1/6, 扔骰(tu)子,从入口投入小球,与钉碰撞,落入狭槽,( 偶然 ),隔板,铁钉,伽尔顿板实验,大量偶然事件整体所遵循的规律 统计规律,再投入小球:,经一段时间后 , 大量小球落入狭槽。,分布情况:,中间多,两边少。,重复几次 ,结果相似。,单个小球运动是随机的 ,大量小球运动分布是确定的。,小球数按空间 位置 分布曲线, 统计规律的特点: (1)只对大量偶然的事件才有意义 (2)它是不同于个体规律的整体规律 (3)总是伴随着涨落,“涨落”现象,-测量值与统计平均值之间的偏离,( 涨落现象是统计规律的重要特征,涨落是偶然的、 杂乱无章的、随机的),对平衡态下的热现象进行微观描述,然后运用统计的 方法求得: (1)宏观量与微观量的统计平均值的关系,揭示宏观量的微观本质; (2)平衡态下微观量的统计分布。如:分子速度、能量的分布等,统计物理学的任务:,(2) 各种可能发生的事件的概率总和等于1.,(几率归一化条件),概率的性质:,(1) 概率取值域为,四、 统计的基本概念,1.概率(Probability),如果N次试验中出现A事件的次数为NA,当N时,比值NA/N称为出现A事件的概率。,2. 概率分布函数:(X),随机变量:,在一定条件下, 变量以确定的概率取各种不相同的值。,1).离散型随机变量,( 取值有限、分立),(3)互斥事件的概率等于分事件概率之和,(4)相容事件的概率等于分事件概率之积,表示方式,概率:,例:抽到扑克牌梅花5的概率是1/4*1/13=1/52(同时出现),概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。,概率密度(X)又称为概率分布函数(简称分布函数),-随机变量x的概率密度(x),2). 连续型随机变量,( 取值无限、连续, 如分子速率、能量),随机变量 x 取值在xx+dx 间隔内的概率为dP(x),就称为概率密度,3.统计平均值(无限次测量), 对于离散 型随机变量,算术平均值,统计平均值,随机变量的统计平均值 等于一切可能状态的取值i与其相应概率Pi的乘积的总和。,对于连续型随机变量X,试比较:,(有限次测量时),(无限次测量时),4-2 理想气体的压强公式、 温度公式和内能,一、理想气体的微观模型和统计假设,1 . 理想气体微观模型,2.统计假设, 分子数密度处处相等;, 分子沿各个方向运动的几率均等。,亦即:分子速度在各个方向上的分量的各种平均值相等。,一定量的处于平衡态的某种理想气体。设其容器的容积为V,总分子数为N, 每个分子的质量均为m。,平衡态下器壁各处压强相同,选A1面求其所受压强。,二理想气体的压强公式,i分子动量增量,i分子对器壁的冲量,i分子相继与A1面碰撞的时间间隔:,单位时间内 i 分子对A1面的冲量:,即,i 分子对A1面的平均冲力:,考虑一个分子i,以速度 奔向一面元A1,与面元碰撞后返回,单位时间内i分子对A1面的碰撞次数:,所有分子对A1面的平均作用力,压强,又因为在平衡态下:,分子的平均平动动能,理想气体的压强公式,(3) 质量为M 理想气体贮存于某容器中,温度为T,根据理想气体微观模型和 统计假设,求分子速度在o-xyz坐标中沿各个方向速度的统计平均值为多少?,思考: (1)在推导理想气体的压强公式中,没有考虑气体分子间的 相互碰撞,如果考虑这一因素,对所得的结果有无影响?,(对宏观系统没有影响。全同粒子),(2)能不能用实验直接验证理想气体的压强公式 ,如果不能,这是因为什 么原因?,答:不能,公式右边分子的平均平动动能(微观量)是无法用实验观测的。,答:在推导理想气体压强公式时,如果考虑分子之间的相互碰撞,对压强公式的最后结果不会有影响。就大量分子的统计效果来讲,当速度为 的分子因碰撞而速度发生改变时,必然有其他的分子因碰撞而具有 的速度(力学中的速度传递),同时,根据假设,分子本身的大小可以忽略,所以其他被碰的分子到器壁的距离也与速度为 的分子在不发生碰撞的情形下到器壁的距离完全一样。,此式给出了宏观量与微观量的统计平均值间的关系,揭示了温度的微观本质.,三、分子的平均平动动能与温度的关系,例3,在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩 气体并对它加热,使它的温度从270C升到1770C,体积 减少一半,试问这时气体分子的平均平动动能变化多少?,解:,1、自由度 i(Degree of freedom),确定一个物体的空间位置 所需要的最少独立坐标数目。,四、能量按自由度均分定理,如: 火车:在一线上运动,其自由度为1,飞机:在空间飞行 自由度为3,(经度、纬度、高度),(经度、纬度),轮船:在一曲面上运动,自由度为2,以刚性分子为例,平动自由度t=3,translational motion,2、能量均分定理,刚性分子的自由度数小结,气体分子沿x,y, z三个方向运动的平均平动动能完全相等,可以认为分子的平均平动动能 均匀分配在每个平动自由度上。,平衡态下,不论何种运动,对应于每一个可能自由度的平均动能都是,能量按自由度均分定理,如果气体分子有i个自由度,则分子的平均动能为,如果某种气体的分子有个 t 个平动自由度, r 个转动自由度, s 个振动自由度.则分子具有:,注意:对应分子的一个振动自由度,除有一份振动的动能外, 还有一份等量的势能。,结论:分子的平均总能量,如温度不太高,不计气体分子振动,则分子的平均动能为,五、理想气体的内能,分子间相互作用可以忽略不计,理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和(内能区别于机械能,内能永远不会为零),1mol理想气体的内能为:,一定质量(M)理想气体的内能为:,理想气体内能完全取决于温度,温度改变,内能改变量为:,例4. 质量为1kg的氧气,其温度由300K升高到350K。若温度升高是在下列3种不同情况下发生的: (1)体积不变,(2)压强不变, (3)绝热。问该理想气体内能改 变各为多少?,解:,理想气体内能仅与温度有关,与压强和体积无关 因为这三种过程温度变化都相同,所以内能变化相同。,例5:就质量而言,空气是由76%的N2,23%的O2和1%的Ar三种气体组成(它们的分子量分别为28、32、40)。空气的摩尔质量为28.910-3kg,试计算1mol空气在标准状态下的内能。,解: 在1摩尔空气中,有,摩尔数,O2质量,摩尔数,N2质量,Ar质量,摩尔数,1mol 空气在标准状态下 ( T=273K ) 的内能:,平衡态下,理想气体系统中以分子速度为随机变量的气体分子速度分布函数,叫麦克斯韦速度分布律。 若不考虑分子速度的方向,则叫麦克斯韦速率分布律。,温度和压强都涉及到分子的平均动能,即有必要研究一下分子速率分布规律。早在1859年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出来,尔后被实验证实。,一、分子速率分布的实验测定,4-3麦克斯韦分子速率分布律,速率筛转动,不同速率的分子将投射并粘附在淀积屏上。,测定分子速率分布的实验,所以,两转盘就叫速率筛。,下面列出了Hg分子在某
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