第七章 应力状态和强度理论,材料力学,71 应力状态的概念 72 二向应力状态分析 73 三向应力状态的最大应力 74 应力应变关系 75 空间应力状态下的应变能密度 7-6 强度理论及其相当应力 7-8 各种强度理论的应用,第七章 应力、应变分析基础,应力、应变分析基础,低碳钢,铸铁,7-1 应力状态的概念,应力、应变分析基础,一、问题的提出 ：,1、低碳钢和铸铁拉伸时的破坏现象,2、低碳钢和铸铁扭转时的破坏现象,铸铁,低碳钢,应力、应变分析基础,三、一点处应力状态的表示方法单元体 (element)： a、每一面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。,二、一点处的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态 （state of stress at a given point）。,应力、应变分析基础,由剪应力互等定理可知九个应力分量中，独立的只有六个，即：,例7-1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。,应力、应变分析基础,四、主单元体、主平面、主应力：,3、 主单元体(Principal Element)： 各侧面上剪应力均为零的单元体。,1、 主平面(Principal Plane)： 剪应力为零的截面。,2、 主应力(Principal Stress ）： 主平面上的正应力。,4、主应力排列：按代数值大小，,应力、应变分析基础,6、二向应力状态（state of biaxial stress ）：只有一个主应力为零，另两个主应力不为零。,7、单向应力状态(state of one dimensional stress ）：只有一个主应力不为零，另两个主应力为零。,5、三向应力状态（ state of triaxial stress ）：三个主应力都不为零的应力状态。,应力、应变分析基础,单元体上有一组面上的应力分量都为零。一般应力分量为零的面的外法线为z。这时有：,平面应力状态：,72 二向应力状态分析,应力、应变分析基础,10,I. 斜截面上的应力,分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面(图b)上的应力。,1. 拉为正，压为负； 2.t 绕研究对象顺时针转动为正； 3.由x轴逆时针转向截面外法线为正。,应力、应变分析基础,解析法：,11,设斜截面面积为dA，由脱离体平衡：,应力、应变分析基础,12,利用切应力互等定理有tx=ty , 并利用三角变换,有：,以上为平面应力状态下求任意截面上的应力sa和ta的基本公式，具体计算时代入规定的符号！,应力、应变分析基础,例1 已知单元体如图，计算斜截面上的应力。,应力、应变分析基础,应力、应变分析基础,例2 已知单元体上的应力，求：,二、主应力及作用平面方向,应力、应变分析基础,说明极值正应力就是主应力！,（记忆！）,主方向(作用平面方向）判定：,大偏大 小偏小,应力、应变分析基础,大偏大 小偏小,应力、应变分析基础,三、最大切应力,应力、应变分析基础,注：该最大剪应力指的是与z轴平行的面上的切应力最大值，并非单元体所有方位中切应力的最大值。,tx,四、单元体两互垂面上的应力关系,应力、应变分析基础,解：由切应力互等定理：,例3 分析受扭构件的破坏规律。,解：1、确定危险点并画其原始单元体,2、求极值正应力,应力、应变分析基础,4、破坏分析,（剪坏）,（拉坏）,3、求极值切应力,低碳钢,灰口铸铁,应力、应变分析基础,例4 单元体如图所示, 试求: (1)指定斜截面上的应力, (2)单元体的主应力大小, (3)主平面的方位.,应力、应变分析基础,解: (1),应力、应变分析基础,(3)主单元体如图所示,（小偏小）,2)主应力及主平面方位：,画出主单元体,应力、应变分析基础,例5 已知单元体上的应力，求主应力并画主单元体。,应力、应变分析基础,例6 已知单元体上的应力，求主应力并画主单元体。,应力、应变分析基础,应力、应变分析基础,画主单元体如图,28,消去参数2：,此方程曲线为圆应力圆（或称莫尔圆），它表明代表a 斜截面上应力的点必落在应力圆的圆周上。,应力、应变分析基础,图解法应力圆法,29,图2, 建立应力坐标系，如图2； （注意选好比例尺）,应力圆的画法,在坐标系内画出点D1(x， x)和 D2(y， y) (或D2(y，- x) )；,D1D2与 轴的交点C便是圆心；,以C为圆心，D1C为半径画圆应力圆；,从半径CD1按方位角的转向转动2 角，得到半径CE，E点的坐标即为（，）。,E(，),2,应力、应变分析基础,30,单元体与应力圆的对应关系,1. 点面对应关系： 应力圆单元体 点一个面 坐标面上的应力,3. 夹角关系： 应力圆两半径夹角2 单元体两截面外法线夹角 ； 且转向一致。,2. 截面的法线 应力圆的半径,应力、应变分析基础,31,在应力圆上标出极值应力,应力、应变分析基础,例: 已知单元体上应力如图，求a斜截面上的应力、主应力、主平面方位及画主单元体。（应力单位为MPa）,a斜截面上的应力：,应力、应变分析基础,画主单元体,求主应力：,主平面方位：,主应力排序：,应力、应变分析基础,图解法：,画主单元体：,应力、应变分析基础,73 三向应力状态下的最大应力,应力、应变分析基础,1.弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。,图a,2.整个单元体内的最大、最小切应力：,图b,3.最大正应力：,应力、应变分析基础,sx=50MPa ， sy=-40MPa tx=-40MPa ， sz=60MPa,解：(1)确定坐标、写出应力分量,(2)求主应力,s1=65.2MPa s2=60MPa s3=-55.2MPa,应力、应变分析基础,例 求图示单元体的主应力和最大切应力。(MPa),解：由单元体图a知：yz面为主平面,建立应力坐标系如图，画图b的应力圆:,应力、应变分析基础,一、单向应力状态下的应力与应变关系,二、纯剪的应力应变关系,75 广义胡克定律,应力、应变分析基础,74 应力与应变间的关系,三、复杂状态下的应力应变关系,依叠加原理，得:,应力、应变分析基础,广义胡克定律,四、平面状态下的应力应变关系:,应力、应变分析基础,（广义胡克定律）,1,2,3,五、主应力主应变关系,应力、应变分析基础,例: 一直径为d的实心圆轴，两端受扭转力矩m的作用，现测得圆轴表面A点处沿450方向的线应变为e 已知材料的弹性常数E和 m ，试求扭转力矩m的大小。,应力、应变分析基础,解：从轴的表面A点处取出一单元体如图,纯剪切应力状态,六、体积应变与应力分量间的关系,体积应变(略去高阶微量）：,应力、应变分析基础,体积应变： 单元体每单位体积的体积改变量。,（体积胡克定律）,应力、应变分析基础,体积应变与应力分量间的关系:,应力、应变分析基础,设单元体的三个主应力值不等，并把应力看成两类应力叠加:,应力、应变分析基础,在平均主应力sm的作用下(图b)，各棱边的线应变均相同:,这时单元体只有体积改变而无形状改变.,在(s1-sm) 、 (s2-sm) 和(s3-sm)三个应力作用下，由于:,则单元体的体积应变=0，单元体仅有形状改变。,48,边长a =0.1 m的铜质立方体，置于刚性很大的钢块中的凹坑内(图a)，铜块与凹坑之间无间隙。试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向荷载F =300 kN时，求铜块内的主应力，最大切应力，以及铜块的体应变。已知铜的弹性模量E =100 GPa，泊松比n0.34。铜块与钢块上凹坑之间的摩擦忽略不计。,例题 7-4,应力、应变分析基础,49,1. 铜块水平截面上的压应力为,例题 7-4,解:,应力、应变分析基础,50,2. 铜块在sy作用下不能横向膨胀，即ex=0，ez0，可见铜块的x截面和z截面上必有sx和sz存在(图b) 。,按照广义胡克定律有方程：,例题 7-4,应力、应变分析基础,51,从以上二个方程可见，有sx=sz。解得：,由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦，所以sx，sy，sz都是主应力，排序为：,例题 7-4,应力、应变分析基础,52,3. 铜块内的最大切应力为,例题 7-4,4. 铜块的体应变为,应力、应变分析基础,75 空间应力状态下的应变能密度,体积应变：,应力、应变分析基础,一般情况下，微元将同时发生体积改变和形状改变，变形比能为：,图b微元只有体积改变，其变形能称为体积改变比能：,图c微元只有形状改变，其应变能称为形状改变比能,应力、应变分析基础,例 用能量法证明三个弹性常数间的关系。,1、纯剪单元体的比能为：,2、纯剪单元体比能的主应力表示为：,应力、应变分析基础,一、强度理论的概念：,强度理论,7-6 强度理论及其相当应力,强度理论(theory of strength )：是关于“构件发生强度失效（failure by lost strength）起因”的假说。,材料的破坏形式：,1. 脆性断裂： 在没有明显的塑性变形情况下突然断裂。,2. 塑性屈服： 材料产生显著的塑性变形而使构件丧失工作能力。,1、最大拉应力（第一强度）理论(maximun tensile stress theory )：认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当危险点处的三个主应力中最大拉应力达到单向拉伸时的强度极限时，构件就断了。,破坏判据：,强度准则：,适用范围：适用于破坏形式为脆断的构件。,常用的四个强度理论：,强度理论,2、最大伸长线应变（第二强度）理论(maximun tensile strain theory )：认为构件的断裂是由最大拉应变引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。,破坏判据：,强度准则：,适用范围：适用于破坏形式为脆断的构件。,强度理论,3、最大剪应力（第三强度）理论(maximum shear stress theory )：认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。,破坏判据：,适用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。,强度准则：,强度理论,4、形状改变能密度理论（第四强度理论)：认为构件的屈服是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。,破坏判据：,强度准则：,适用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。,强度理论,其中，r相当应力。,相当应力(equivalent stress )：,强度理论,注：相当应力均采用主应力的形式表达！,1、一般，由于脆性材料抵抗断裂的能力低于抵抗滑移的能力；塑性材料抵抗滑移的能力低于抵抗断裂的能力。因此，第一强度理论和第二强度理论一般适用于脆性材料；而最大剪应力理论与形状改变能密度理论一般用于塑性材料。,3、在三轴压缩应力状态下，不论是塑性还是脆性材料，通常都发生屈服失效，一般采用第四强度理论。,2、不论是脆性还是塑性材料，在三向受拉应力状态下，都发生脆性断裂破坏，宜用第一强度理论。,强度理论,7-8 各种强度